Nelle mie peregrinazioni in matematica, come turista, mi sono imbattuto in una vecchia conoscenza (tempi del liceo) che vorrei chiarire. Condizione necessaria: A si dice condizione necessaria per B se: La negazione di A(~A) è incompatibile con B Mio esempio (A= avere 4 lati , B= essere un quadrilatero) in questo caso non avere 4 lati è incompatibile con B. Condizione sufficiente: A si dice condizione sufficiente per B se: A è incompatibile con la negazione di B(~B) In questo caso avere 4 lati è incompatibile col non essere un quadrilatero Se al posto di quadrilatero metto quadrato le cose cambiano e la condizione diventa necessaria ma non sufficiente. Quindi vorrei sapere se quello che ho scritto ha una parvenza di chiarezza, se avete una formulazione diciamo più matematica , se quando una condizione al test è necessaria ed anche sufficiente si può usare quel famoso scioglilingua -> Condizione necessaria e sufficiente …..eccetera eccetera.

Godel col suo teorema è arrivato a ottenere l’equivalente matematico della frase “questa frase non è dimostrabile”. La frase in questione, dunque, non riguarda problemi matematici, ma la frase stessa. Se questa frase (o altre analoghe) è l’unica indecidibile, l’incompletezza del sistema in cui operiamo non sembra riguardare la affermazioni di carattere matematico che esso può formulare, ma solo una particolarissima affermazione creata appositamente; dunque questa incompletezza è davvero così grave?

Vorrei sapere che cos’è una dimostrazione. Se la dimostrazione di una proposizione è la sequenza ottenuta partendo da alcuni assiomi scelti arbitrariamente utilizzando regole di inferenza arbitrarie (data l’esistenza di sistemi logici non classici) e che ha come ultima riga la proposizione cercata, allora questo vuol dire che anche una qualsiasi metadimostrazione rispetto ad un particolare sistema assiomatico deve basarsi su altri assiomi e regole di inferenza che vengono spesso non esplicitati. Scusatemi se ho detto sciocchezze, vorrei solo avere dei chiarimenti a riguardo.

Ho sentito parlare di Godel e del suo teorema con il quale ha dimostrato che “è impossibile dimostrare dall’interno di un sistema di assiomi la non contraddittorietà di questi ultimi “. Ciò mi sembra di fondamentale importanza perché assieme al principio di Heisemberg fa crollare (dal punto di vista matematico) le pretese razionalistiche di una capacità assoluta della ragione di conoscere e di cogliere mediante una certezza assoluta. Non essendo un matematico, desidererei capire un po’di più riguardo a questo postulato.