Perché Mercurio è l’unico corpo celeste nel sistema solare ad essere in risonanza spin-orbita 3:2 con il Sole?

Mercurio ruota su se stesso in 58.65 giorni terrestri, esattamente 2/3 del suo periodo orbitale (che dunque è di poco inferiore agli 88 giorni).

La scoperta di questa relazione, effettuata nel 1965 con osservazioni radar dal telescopio di Arecibo, ad opera di Pettengill e Dyce (Cornell University), nega i calcoli di Schiaparelli che prevedevano una rotazione sincrona di Mercurio. Infatti, in 2 rivoluzioni attorno al sole, Mercurio completa esattamente 3 rotazioni sul suo asse.

I sistemi dinamici tendono a sincronizzare i periodi in un rapporto di 1:1. Lo vediamo ad esempio nel sistema Terra-Luna, con il satellite che ha già realizzato la sincronia.

Causa di questa sincronizzazione sono le forze di marea, dovute all’attrazione differenziale: i punti più lontani sentono una forza di gravità minore perché dipendente dall’inverso del quadrato della distanza.

Calcolando questa differenza (il calcolo dettagliato lo trovate in questa pagina), utilizzando la approssimazione al primo ordine, si ha una dipendenza lineare dalla distanza tra punti diversi e inversamente proporzionale al cubo della distanza dal centro di gravità.

Come si vede dalla formula, non tutti i sistemi dinamici ne risentono, se la distanza è elevata, le forze di marea sono spesso trascurabili e i loro effetti hanno tempi scala superiori all’età dell’universo.
Nel caso di Mercurio, il diametro (h) è circa 5000 km, mentre la distanza dal Sole (r) è dell’ordine di 107 km, l’errore nell’uso della formula approssimata è di circa 1 parte su 104.

L’orbita di Mercurio è molto stretta (il semiasse maggiore dell’orbita è 0.386 AU, ovvero circa 58 milioni di km) ed eccentrica (e = 0.206).
La differenza di distanza dal Sole tra perielio ed afelio è di circa 24 milioni di km, pertanto le forze di marea sono molto maggiori al perielio (di un fattore 3.5, sostituendo i valori di r nella formula, con r = 5000 km), anche se in questa posizione agiscono per un tempo più breve (seconda legge di Keplero).

Mercurio risulta dunque legato marealmente al Sole principalmente al perielio.

La forza di marea è dissipativa: sotto la sua azione gli oggetti si deformano e per attriti interni il sistema consuma energia. Tende dunque a un equilibrio, che è quello in cui i corpi tendono a mostrarsi sempre la stessa faccia.
Come detto, le forze di marea sincronizzano rotazione e rivoluzione, cioè tendono a far coincidere velocità orbitale istantanea e velocità angolare dei corpi.

Se però la velocità angolare varia molto, come accade in orbite eccentriche, la rotazione non può fare altrettanto (basti pensare all’opposizione del momento d’inerzia alla variazione di velocità di rotazione del corpo).
In questo caso, predomina la sincronizzazione con il perielio, a causa del maggior effetto mareale, per cui la rotazione di Mercurio tende a sincronizzarsi con un moto circolare di raggio pari alla distanza al perielio (0.31 AU).

Per la terza legge di Keplero, (il pedice m indica il riferimento a Mercurio, p all’oggetto che si muoverebbe di moto circolare con raggio dell’orbita pari al perielio di Mercurio)

da cui

(il conto è ovviamente approssimato, ma il risultato è abbastanza vicino a 2/3).
Poichè a primo membro dell’ultima equazione c’è praticamente il periodo di rotazione del pianeta, risulta esattamente quanto ci apettavamo.

La causa fisica di questo comportamento non è ancora del tutto chiara.
Recentemente è stata fatta l’ipotesi che possa essere un effetto del comportamento caotico del sistema solare.

In Mercury’s capture into the 3:2 spin-orbit resonance as a result of its chaotic dynamics: Alexandre C. M. Correia and Jacques Laskar, Nature, 24 June 2004 le simulazioni, a causa della natura caotica del sistema, portano, durante l’evoluzione, a un valore dell’eccentricità dell’orbita superiore a quello necessario per una sincronizzazione a 2/3.

Durante i diversi miliardi di anni di esistenza del nostro sistema solare, Mercurio si è trovato diverse volte in queste condizioni di risonanza, fino a esservi catturato, mantenendo stabile la sua orbita, come si vede dai risultati delle simulazioni descritte, con una figura che in qualche modo ricorda una oscillazione smorzata, che tende proprio alla risonanza 2/3 (in ordinata il rapporto tra velocità orbitale e rotazione).