Parte 2: mappa ed evoluzione dell’Universo

Affermare che l’Universo è omogeneo significa che ogni proprietà misurabile è la stessa ovunque. Ciò non è vero su scala ridotta, ma è una eccellente approssimazione qualora si faccia una media su regioni molto vaste. Dato che anche l’età dell’Universo è una quantità misurabile, l’omogeneità dell’Universo deve essere definita per una superficie con tempo proprio costante dal Big Bang. Tuttavia la relatività ristretta ci insegna che il tempo proprio misurato da un osservatore dipende dalla sua velocità, dunque dobbiamo specificare che la variabile temporale t nella legge di Hubble è il tempo proprio dal Big Bang per osservatori comoventi.

Distanza o distanze?

A patto che le variabili in gioco siano interpretate correttamente, la legge di Hubble $v = HD$ è vera per ogni valore di $D$ , anche per quelli che implicano $v>c$ . Si deve però prestare molta attenzione a come si intendono la distanza e la velocità.
La distanza D nella legge di Hubble deve essere definita in modo tale che se A e B sono due galassie lontane che noi vediamo nella stessa direzione, con A e B non troppo distanti tra loro, allora la differenza delle distanze da noi, $D(A)-D(B)$ , è la distanza che A misurerebbe da B.
Questa misura però dev’essere fatta “ora”, dunque A deve misurare la distanza da B allo stesso tempo proprio dal Big Bang che misuriamo noi. Per questo motivo, allo scopo di determinare la distanza $D$ per una galassia remota Z, noi dobbiamo individuare una catena di galassie ABC…XYZ lungo il cammino per Z, con ciascun elemento della catena abbastanza prossimo ai suoi vicini, e poi fare in modo che ciascuna galassia della catena misuri la distanza dalla successiva al tempo $t_0$ dal Big Bang. La distanza di Z, D(da noi a Z), è la somma di tutti questi sotto-intervalli:

$D_\text{da noi a Z} = D_\text{da noi ad A} + D_\text{da A a B} + ... + D_\text{da X a Y} + D_\text{da Y a Z}$

La velocità nella legge di Hubble è semplicemente la derivata della distanza D rispetto al tempo ed è approssimata dall’espressione $v = cz$ per piccoli redshift ma devia significativamente per valori elevati di $z$ . Il diagramma di seguito riprende quanto detto nella parte 1 del tutorial e mostra come un cambiamento del punto di vista dall’osservatore A all’osservatore B lascia invariata la natura lineare della legge di Hubble:

la presenza dei coni di luce mostra che essi si inclinano lungo la linea d’universo delle galassie. Tutto questo dimostra che in queste variabili cosmologiche la velocità della luce è $c$ rispetto agli osservatori locali comoventi.

Il tempo e la distanza usati nella legge di Hubble non sono come la $x$ e la $t$ usati nella relatività ristretta, e ciò purtroppo a volte determina confusione. In particolare, galassie che sono sufficientemente distanti da noi mostrano una velocità di allontanamento superiore a $c$ .

I coni di luce di galassie remote appaiono inclinati ben oltre la verticale, indicando una apparente velocità superiore a quella della luce. Il diagramma spazio-temporale di seguito illustra un modello cosmologico di universo vuoto (ovvero con densità molto prossima a zero) usando la $D$ e la $t$ della legge di Hubble rispettivamente come ascissa e ordinata.

Le linee d’universo degli osservatori comoventi sono decorate con piccoli triangolini che rappresentano il cono di luce del futuro. La curva rossa a forma di pera è il cono di luce del nostro passato. Nota che la curva rossa ha in ogni punto la stessa inclinazione dei piccoli coni di luce.
In questo spazio di variabili, velocità superiori a c sono certamente possibili, e dal momento che gli universi aperti sono spazialmente infiniti, esse sono attualmente riscontrabili. Tuttavia non c’è contraddizione con il principio della relatività ristretta, che impedisce agli oggetti dotati di massa di raggiungere e superare la velocità della luce. Infatti se rappresentiamo lo stesso spazio-tempo nelle coordinate relativistiche $x$ e $t$ (rispettivamente in ascissa e in ordinata) otteniamo:

Le iperboli grigie rappresentano le superfici con tempo proprio costante dal Big Bang (il vertice in basso). Quando noi le schiacciamo per produrre il precedente diagramma spazio-temporale, le linee d’universo delle galassie si appiattiscono, dando velocità $v = dD_\text{ora}/dt$ che possono essere maggiori di $c$ .
Ma nelle coordinate della relatività ristretta le velocità sono sempre inferiori a c. Possiamo anche vedere che il cono di luce del nostro passato incrocia la linea d’universo di molte galassie remote alla distanza relativistica $x = c*t_0/2$ . Ma la distanza $D$ in base alla legge di Hubble, che viene misurata ora, di queste galassie distanti è infinita (in questo modello cosmologico).

Inoltre, questa galassia con distanza infinita secondo la legge di Hubble e quindi velocità infinita secondo la legge di Hubble è visibile a noi, poiché in questo modello l’Universo osservabile è l’intero Universo. Di seguito sono riportate le relazioni tra la distanza e la velocità della legge di Hubble ( $D_\text{ora}$ & $v$ ) ed il redshift $z$ per il modello a densità zero:

$v = H_0D_\text{ora}$

$D_\text{ora} = (c/H_0) \ln(1+z)$

$1+z = e^{v/c}$

Da notare che la relazione redshift-velocità non è la legge di Doppler relativistica

$1+z = \sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}$

che si applica solo alle coordinate relativistiche, non a quelle cosmologiche.

Mentre la legge di Hubble è in linea di principio misurabile, la necessità di avere degli aiutanti lungo la catena di galassie, fino a quella lontana di cui vogliamo misurare la distanza, la rende piuttosto impraticabile 🙂
Si possono allora definire altre distanze molto più facili da misurare.
Una di esse è la distanza D_A data dalla dimensione angolare, la quale è definita da $\theta = R/d_A$ e dunque $d_A = R/\theta$ dove con R intendiamo l’estensione trasversale di un oggetto e $\theta$ è l’angolo (espresso in radianti) che l’oggetto sottende sulla volta celeste. Il problema principale per la sua determinazione è che gli oggetti celesti, pensa ad esempio ad una galassia, non hanno confini netti, ma sfumano gradualmente nello spazio. Nel modello di universo “vuoto”, la $x$ della relatività speciale è uguale alla distanza data dalla dimensione angolare, $x = D_A$ .

Un altro importante indicatore di distanza è il flusso luminoso ricevuto da un oggetto, che definisce dunque la distanza di luminosità attraverso

$\begin{equation} F = \frac{L}{4 \pi d_L^2}$

Il flusso si misura mediante un fotometro, mentre la luminosità $L$ deve essere in qualche modo nota a priori.
Gli oggetti celesti dei quali si conosce la luminosità sono detti candele standard. Fra le candele più importanti annoveriamo le stelle variabili Cefeidi, che presentano una stretta relazione tra periodo e luminosità, e le supernovae di tipo Ia, che hanno la stessa luminosità di picco durante l’esplosione.

Una quarta distanza è quella basata sul tempo di volo della luce: $D_T = c (t_0 - t_{em})$ . Chi dice che la più grande distanza visibile è $c t_0$ sta proprio usando questa accezione di distanza. Tuttavia la grandezza $D_T$ non è molto utile perché è difficile conoscere $t_{em}$ ovvero l’età dell’Universo nell’istante di emissione della luce che ora stiamo ricevendo.

Ed infine, il redshift è un importantissimo indicatore di distanza, dal momento che gli astronomi lo possono msurare facilmente, invece la dimensione o la luminosità necessarie per calcolare $D_A$ o $D_L$ sono sempre abbastanza difficili da stimare.

Il redshift è un indicatore di distanza così utile che è un peccato che i giornalisti scientifici cospirino per escluderlo dalle storie: evidentemente a scuola di giornalismo devono aver insegnato loro la regola delle “5 w ma nessuna z”.

Relazioni tra le distanze

La curva che mette in relazione un indicatore di distanza rispetto agli altri dipende dal modello cosmologico adottato. Il grafico del redshift in funzione della distanza per le supernovae di tipo Ia mostrato precedentemente è di fatto un diagramma di $cz$ in funzione di $D_L$ , dal momento che i flussi luminosi sono stati utilizzati per determinare la distanza delle supernovae. Questi dati chiaramente escludono i modelli che non predicono una relazione lineare tra $cz$ e $D_L$ , per piccoli $cz$ .
L’estensione di queste osservazioni alle supernovae remote hanno iniziato a rivelarci qualcosa sulla curvatura del grafico di $cz$ in funzione di $D_L$ .

L’accordo perfetto tra la CMB e la radiazione di corpo nero ci sonsente di determinare la relazione tra $D_A$ e $D_L$ (ovvero tra la distanza data dall’estensione angolare e quella data dal flusso luminoso).
Dato che la CMB si è prodotta a grandissima distanza ma appare ancora come un corpo nero, un corpo nero distante deve continuare ad assomigliare ad un corpo nero (anche se la temperatura cambia per effetto dell’espansione). La luminosità del corpo nero è

$L = 4 \pi R^2 \sigma T_{em}^4$

dove $R$ è il raggio, $T_em$ è la temperatura del corpo nero emittente, $\sigma$ è la costante di Stephan-Boltzmann. Vista al redshift $z$ , la temperatura osservata sarà

$T_{oss} = T_{em} (1+z)$

ed il flusso luminoso sarà

$F = \theta^2 \sigma T_{oss}^4$

dove il raggio angolare è legato a quello fisico da

$\theta = R/D_A$

Combinando queste equazioni abbiamo

$\begin{equation} D_L^2 = \frac{L}{4 \pi F} = \frac{4 \pi R^2 \sigma T_{em}^4}{4 \pi \theta^2 \sigma T_{oss}^4} = D_A^2 (1+z)^4$

ovvero

$D_L = D_A (1+z)^2$

I modelli che non prevedono questa relazione tra $D_A$ e $D_L$ , come ad esempio il modello cronometrico o quello della luce affaticata, sono esclusi in base alle proprietà della CMB.

Ecco un calcolatore Javascript che riceve in input H0, Omega_M, la costante cosmologica lambda normalizzata, il redshift z e fornisce in output tutte queste distanze.

Qui trovate le tecnicalità delle formule per le distanze. I grafici di seguito mostrano queste distanze in funzione del redshift per tre modelli cosmologici: il modello a densità critica dominato dalla materia (modello di Einstein – de Sitter), il modello vuoto e quello ad espansione accelerata Lambda–CDM che è quello comunemente accettato oggi.

Si noti che tutte le distanze sono molto simili per piccole distanze, con $D = cz/H_0$ , ma i diversi tipi di distanze deviano sostanzialmente in caso di grandi redshift. Si noti inoltre che queste deviazioni dipendono dal tipo di Universo in cui viviamo.
Le misurazioni precise delle deviazioni di $D_L$ da $cz/Ho$ sono proprio ciò che ci dice che l’espansione dell’Universo sta accelerando.

Il fattore di scala a(t)

Dato che in base alla legge di Hubble la velocità, ovvero $dD_{ora}/dt$ , è strettamente proporzionale a $D$ , la distanza tra ciascuna coppia di osservatori comoventi cresce di un fattore $(1+H \Delta t)$ durante lo stesso intervallo di tempo $dt$ . Ciò significa che noi possiamo esprimere la distanza da ogni osservatore comovente come

$D_G(t) = a(t) D_G(t_0)$

dove $D_G(t_0)$ è la distanza dalla galassia G ora, mentre $a(t)$ è il fattore di scala universale che si applica a tutti gli oggetti comoventi. Dalla sua stessa definizione vediamo che $a(t_0) = 1$ .

L’evoluzione dell’Universo

Possiamo calcolare la dinamica dell’Universo considerando un oggetto la cui distanza è $R = D(t) = a(t) D_0$ .
Questa distanza e la velocità corrispondente $dD/dt$ sono misurate rispetto a noi che siamo al centro del sistema di riferimento (la galassia rossa). L’accelerazione gravitazionale dovuta alla sfera di materia di raggio $D(t)$ è

$\begin{equation} g = -\frac{GM}{D(t)^2}$

dove la massa M vale

$M = \frac{4 \pi}{3} G \rho R$

$\rho(t)$ è la densità di materia che dipende solo dal tempo poiché l’Universo è omogeneo. La massa contenuta entro $D(t)$ è indipendente dal tempo per il fatto che la materia all’interno ha una velocità di espansione più bassa (e dunque non esce dalla sfera) mentre la materia all’esterno ha velocità di espansione maggiore (e dunque rimane all’esterno).

Ricordando il teorema di Gauss, l’effetto gravitazionale della materia all’esterno della sfera non conta, l’accelerazione gravitazionale all’interno della sfera è zero, e tutta la materia dell’Universo la cui distanza da noi è superiore a $D(t)$ può essere schematizzata con gusci concentrici. Con una massa interna a $D(t)$ costante che produce una accelerazione sul bordo, il problema si riduce a quello di un oggetto puntiforme (la galassia blu) che si muove radialmente in un campo gravitazionale. Se la velocità è inferiore alla velocità di fuga, allora l’espansione si fermerà ed il tutto tornerà a collassare.

Se la velocità eguaglia la velocità di fuga abbiamo il caso critico. In quest’ultimo caso abbiamo:

$v = HD = v_{fuga} = \sqrt{2GM/D}$

elevando al quadrato entrambi i membri:

$H^2 D^2 = 2 (4 \pi /3) \rho D^2$

ovvero

$\begin{equation} \rho_{critica} = \frac{3 H^2}{8 \pi G}$

Per $\rho$ uguale o inferiore alla densità critica $\rho_{critica}$ , l’Universo si espanderà per sempre, mentre per $\rho$ maggiore di $\rho_{critica}$ l’Universo terminerà la sua espansione e ricollasserà. Il valore di $\rho_{critica}$ per $H_0$ = 71 km/s/Mpc è $9^{-30}$ g/cm³ o 6 protoni per metro cubo o anche $1.4^{11}$ masse solari per MegaParsec cubico. Quest’ultimo valore può essere paragonato al valore osservato di $1.85^8$ luminosità solari per Mpc³, richiedendo un rapporto massa-luminosità di 760 in unità solari per avere un Universo chiuso.
Se la densità è ovunque prossima al valore critico, questo postula che gran parte della materia debba essere troppo poco luminosa per essere osservata.
Le stime attuali suggeriscono che la densità di materia è compresa tra 0.2 e 1 volte la densità critica, e ciò richiede che la maggior parte della materia nell’Universo sia in forma oscura.