Parte 3: gli aspetti problematici

La curvatura spaziale

Una importante conseguenza della relatività generale è che la curvatura dello spazio dipende dal rapporto tra la densità $\rho$ e la densità critica $\rho_{critica}$ . Possiamo chiamare questo rapporto $\Omega = \rho / \rho_{critica}$ .
Per $\Omega < 1$ l’Universo ha curvatura negativa, ovvero una geometria iperbolica.
Per $\Omega = 1$ l’Universo è piatto, ovvero è descritto dalla geometria euclidea.
Per $\Omega > 1$ l’Universo ha curvatura positiva ovvero una geometria sferica.
Abbiamo già visto che il caso di universo vuoto, che possiede una geometria iperbolica, infatti in questo modello le istantanee di tempo cosmico nelle coordinate della relatività speciale erano iperboloidi.

La figura qui sopra mostra i tre tipi di curvatura, e a fianco l’evoluzione dei corrispondenti fattori di scala $a(t)$ . Queste curve $a(t)$ presuppongono che la costante cosmologica sia zero, il che non è l’attuale modello standard. $\Omega > 1$ corrisponde ancora ad una forma sferica, ma potrebbe espandersi all’infinito anche se la densità è maggiore della densità critica a causa dell’effetto gravitazionale repulsivo della costante cosmologica.

L’età dell’Universo dipende da $\Omega_0$ e anche da $H_0$ . Per $\Omega = 1$ , il caso di densità critica, il fattore di scala è

$a(t) = (t/t_0)^{2/3}$

e l’età dell’Universo è

$t_0 = (2/3) /H_0$

mentre nel caso di universo vuoto, $\Omega=0$ , è

$a(t) = (t/t_0)$ con $t_0 = 1/H_0$

Se $\Omega_0 > 1$ l’età dell’Universo è anche minore di $(2/3)/H_0$

La figura qui sopra mostra il fattore di scala in funzione del tempo misurato dal presente, per H₀ = 71 km/s/Mpc e per $\Omega_0 = 0$ (verde), $\Omega_0 = 1$ (nero), e $\Omega_0 = 2$ (rosso) senza energia del vuoto, per il modello di WMAP $\Omega_M = 0.27$ e $\Omega_V = 0.73$ (magenta) ed il modello dello stato stazionario con $\Omega_V = 1$ (blu). Le età dell’Universo in questi cinque modelli sono rispettivamente di 13.8, 9.2, 7.9, 13.7 ed infiniti miliardi di anni. Il ricollasso del modello con $\Omega_0 = 2$ avviene quando l’Universo è 11 volte più vecchio di quanto non sia ora, e dato che tutte le osservazioni indicano che $\Omega_0 < 2$ abbiamo almeno 80 miliardi di anni prima di un Big Crunch.

Il valore di $H_0 t_0$ è una quantità adimensionale che deve valere 1 se l’Universo è praticamente vuoto, e 2/3 se l’Universo ha densità pari al valore critico. Nel 1994 Freedman et al. (Nature, 371, 757) hanno trovato che $H_0 = 80 \pm 17$ che se combinato con un $t_0 = 14.6 \pm 1.7$ miliardi di anni, troviamo che $H_0 t_0 = 1.19 \pm 0.29$ .
A prima vista ciò favorisce il modello di Universo vuoto, ma un errore di 2 deviazioni standard verso il basso ci porterebbe al caso di densità critica.
Dato che sia l’età degli ammassi globulari utilizzata sopra, che il valore di $H_0$ dipendono dalla scala di distanza allo stesso modo, un errore in quest’ultima potrebbe ripercuotersi in modo significativo sul prodotto $H_0 t_0$ . In effetti, misurazioni recenti dal satellite HIPPARCOS suggeriscono che la scala di distanza delle Cefeidi deve essere aumentata del 10%, e anche l’età degli ammassi globulari dev’essere ridotta del 20%. Se prendiamo per buono il valore trovato dal telescopio spaziale Hubble di $H_0 = 72 \pm 8$ (Freedman et al. 2001, ApJ, 553, 47) e l’ultimo valore dell’età degli ammassi globulari pari a $t_0 = 13.5 \pm 0.7$ miliardi di anni, troviamo che $H_0 t_0 = 0.99 \pm 0.12$ che è perfettamente consistente con un Universo vuoto oppure con un Universo in espansione accelerata, che è il modello standard attuale.

Il problema della piattezza e dell’età

Se $\Omega_0 > 1$ l’Universo rallenterà progressivamente la sua espansione fino a fermarsi, e dunque $\Omega$ diverrà infinito. Se invece $\Omega_0 < 1$ , l’Universo si espanderà per sempre e, dato che la densità diminuisce più in fretta della densità critica, $\Omega$ diminuirà sempre più. Per queste ragioni $\Omega = 1$ è un punto di equilibrio instabile, ed è notevole che $\Omega$ al momento sembri molto prossimo a 1.

La figura qui sopra mostra l’evoluzione di $a(t)$ per tre modelli cosmologici con tre diverse densità al tempo di 1 ns dopo il Big Bang. La curva nera rappresenta il caso a densità critica $\rho$ = 447225917218507401284016 g/cm³. Aggiungendo solo 1 a questi 447 sestilioni fa sì che il Big Crunch debba accadere proprio in questi anni! Invece togliendo 1 otteniamo un modello con un Omega troppo basso che non si accorda con le osservazioni.
Per questo motivo diciamo che la densità 1 ns dopo il Big Bang è “quella giusta” con una accuratezza maggiore di una parte su 447 sestilioni. Per non parlare di istanti precedenti, in cui l’accuratezza è maggiore di una parte su $10^{59}$ ! Dato che, se la densità nelle fasi iniziali è leggermente maggiore, l’Universo ricollassa quasi subito, questo è chiamato il problema dell’età. Inoltre, siccome l’Universo con densità critica ha geometria euclidea, questo aspetto enigmatico è anche chiamato il problema della piattezza.
Qualunque sia il meccanismo che ha portato la densità al valore esattamente uguale a quella critica, funziona estremamente bene, e sarebbe davvero strano se $\Omega_0$ fosse prossima a 1 ma non esattamente uguale a 1.

Le trasformazioni dei diagrammi spazio-temporali

Il modello a densità critica è mostrato nel diagramma spazio-temporale di seguito.

Nota che le linee d’universo delle galassie ora sono curve a causa della forza di gravità, che fa sì che l’espansione sia rallentata. In effetti, ciascuna linea d’universo è $k$ volte $a(t) = (t/t_0)^{2/3}$ per questo modello in cui Omega₀ = 1. La curva rossa a forma di pera è il cono di luce del nostro passato. Questo diagramma è disegnato per il nostro punto di vista, ma dato che l’Universo è omogeneo, lo stesso diagramma tracciato per ogni galassia sarebbe identico.

La figura qui sopra mostra il diagramma spazio-temporale come se fosse disegnato sul lato di un mazzo di carte. Quello di seguito rappresenta il mazzo di carte spinto lateralmente in modo da metterci nel sistema di riferimento di A.

Nota che questa non è una trasformazione di Lorentz, inoltre le coordinate non sono quelle della relatività ristretta. La trasformazione galileiana che potrebbe essere realizzata spingendo lateralmente il mazzo di carte richiede che il bordo del mazzo rimanga rettilineo, e in ogni caso la trasformazione di Lorentz non può essere raffigurata in questo modo perché non esiste un tempo assoluto. Tuttavia nei modelli cosmologici noi abbiamo effettivamente un tempo cosmico, che è il tempo proprio dal Big Bang misurato da osservatori comoventi, pertanto questa rappresentazione “del mazzo di carte” è valida.
La presenza della gravità in questo modello comporta uno spazio-tempo curvo che non può essere rappresentato senza deformazioni su uno spazio-tempo piatto. Se ciascun sistema di coordinate è una rappresentazione deformata dell’Universo, allora noi possiamo riferirci ad un conveniente sistema di coordinate, e tenere traccia della deformazione alterando la forma dei coni di luce.
Ad esempio, spesso è conveniente “scorporare” l’espansione dell’Universo, il seguente diagramma spazio-temporale mostra il risultato della divisione della coordinata spaziale per a(t). Ora le linee d’universo delle galassie sono tutte verticali.

$Omega=1 t vs X_{cm} diagram$

La divisione ha espanso il nostro cono di luce del passato a tal punto che dobbiamo ridisegnarlo per mostrarlo tutto:

$Omega=1 t vs X_{cm} diagram wide-field$

Se ora noi “stiriamo” l’asse del tempo nei dintorni del Big Bang, otteniamo il diagramma spazio-temporale che ha i coni di luce del passato con i bordi rettilinei:

Questo genere di diagramma spazio-temporale è chiamato “conforme”, e mentre da un lato è fortemente distorto, dall’altro rende semplice vedere dove va a finire la luce, e dunque ci consente una analisi immediata dei rapporti di causalità. La trasformazione che abbiamo effettuato è analoga alla trasformazione dalla vista laterale della Terra (a sinistra) alla proiezione di Mercatore (a destra).

Nota che una rotta in direzione costante verso Sud-Est è una linea retta sulla mappa di Mercatore, dunque questa proiezione è analoga al diagramma spazio-temporale conforme, che mantiene rettilineo il bordo dei coni di luce del passato.

Ricorda anche che lo spazio-tempo caratterizzato da $\Omega_0 = 1$ ha estensione infinita, quindi il diagramma spazio-temporale conforme può proseguire ben oltre il nostro cono di luce del passato, come illustrato qui sotto.

Si possono utilizzare altri sistemi di coordinate. Se consideriamo la coordinata spaziale come l’angolo in un diagramma polare, il cambio del punto di vista sarà molto facile: è sufficiente una rotazione.

Il diagramma qui sopra è relativo ad un modello di Universo con $\Omega_0 = 2$ (che in effetti è sferico) ed è disegnato in questo modo con $a(t)$ usata come coordinata radiale. In questo modello il cono di luce del passato raggiunge metà dell’Universo.

Il problema dell’orizzonte

Il diagramma spazio-temporale conforme è un valido strumento per descrivere le osservazioni dell’anisotropia della CMB. L’Universo era opaco prima che i protoni e gli elettroni si combinassero per formare atomi di idrogeno, ciò avvenne quando la temperatura scese al di sotto di 3000 K ad un redshift di 1+z = 1090.
Dopo questa fase, i fotoni della CMB hanno viaggiato liberamente nell’Universo trasparente che possiamo vedere oggi. Per questo motivo la temperatura della CMB in un dato punto del cielo è stata determinata dal tempo in cui si sono formati gli atomi di idrogeno. Dal momento che le lunghezze d’onda della CMB scalano allo stesso modo delle distanze intergalattiche durante l’espansione dell’Universo, sappiamo che $a(t)$ doveva essere 0.0009 al tempo della ricombinazione. Per il modello $\Omega_0 = 1$ ciò implica che $t/t_0 = 0.00003$ e dunque per $t_0 = 14$ miliardi di anni il tempo è di circa 380.000 anni dopo il Big Bang. Questa è una frazione così piccola dell’età corrente dell’Universo che lo “stiramento” dell’asse temporale quando si produce il diagramma spazio-temporale conforme è molto utile per ingrandire questa parte della storia dell’Universo.

Omega_o = 1 conformal space-time diagram

Il diagramma conforme qui sopra ha esagerato questa zona molto di più, assumendo che il redshift della ricombinazione sia $1+z = 144$ , che corrisponde alla linea orizzontale blu. Le regioni in giallo sono i coni di luce del passato di due eventi di ricombinazione nel nostro cono di luce del passato. Ogni evento che influenza la temperatura della CMB a sinistra deve essere confinato nel triangolo giallo di sinistra. Ogni evento che influenza la temperatura della CMB nella parte destra deve trovarsi nel triangolo giallo di destra. Queste regioni non hanno eventi in comune, ma le due temperature sono uguali a meno di una parte su 10.000. Come è possibile? In cosmologia questo è noto come problema dell’orizzonte.