Vorrei conoscere la deduzione matematica dell’ellitticità delle orbite dalla proporzionalità all’inverso del quadrato della distanza, possibilmente in maniera semplificata rispetto all’esposizione di Newton.

Effettivamente la prima legge di Keplero è la più semplice da enunciare ma al contempo la più difficile da ricavare. Newton infatti la dimostrò nell’opera Principia Matemathica Philosophiae naturalis dando un contributo fondamentale non solo all’astronomia, ma anche all’analisi matematica, poiché per la dimostrazione mise a punto il calcolo differenziale (che egli però raffigurava geometricamente chiamandolo metodo delle flussioni).

Trovare un modo semplice per ricavare l’equazione dell’orbita di un pianeta partendo dall’espressione della forza, dell’energia e del momento angolare è impresa ardua. Meglio dire chiaramente che senza la soluzione di un’equazione differenziale del primo ordine:

dove

\begin{equation} \mu = \frac{M_1M_2}{M}

non ci possiamo arrivare per mezzo di equazioni.

Tuttavia è possibile lavorare in modo semi-intuitivo operando come fece una delle menti più brillanti di questo secolo: il fisico teorico Richard P. Feynman durante la lezione che tenne alle matricole del California Institute of Tecnology il 13 marzo 1964.
La brillante lezione sul moto dei pianeti intorno al sole sfrutta strumenti matematici non più complessi della geometria piana. Negli appunti di Feynman sono stati trovati evidenti riferimenti alla dimostrazione delle leggi di Keplero, come quelli che Newton aveva riportato nei suoi “Principia Mathematica”, ma come dice Feynman stesso, ad un certo punto della lezione il procedimento della dimostrazione è del tutto originale.

Infatti la dimostrazione di Newton data nei Principia Mathematica è difficile da seguire perché si appoggia su astruse proprietà geometriche delle ellissi. Inoltre la dimostrazione parte dal moto ellittico e giunge a dimostrare che la forza che lo determina è centrale e dipende dall’inverso della distanza. Feynman invece parte dall’espressione della forza centrale che dipende dall’inverso del quadrato della distanza, dal fatto che l’orbita è un percorso chiuso con una distanza minima ed una massima dal Sole, dalla seconda legge di Keplero che impone la costanza delle velocità areolari, e giunge a dimostrare che l’orbita risultante è una ellisse.

Tale dimostrazione si trova nel libro
Il moto dei pianeti intorno al Sole
titolo originale: “Feynman’s Lost Lecture, The Motion of Planets Around the Sun” di D.L. Goodstein e J.R. Goodstein
Editore: Zanichelli – Collana: Le ellissi

E’ anche disponibile una serie di slides di Angelo Angeletti che riassumono bene il contenuto.

Oppure, se si ha confidenza con la lingua inglese, la stessa dimostrazione è reperibile in internet.
Consiglio di seguire tale dimostrazione avendo a disposizione un foglio circolare di una ventina di centimetri di diametro. L’autore della pagina web sopra riportata suggerisce di ripiegare il foglio per visualizzare l’ellisse, ma io aggiungo di ripassare le pieghe con un tratto di matita (come suggerisce il metodo originale di Feynman).