Ricordiamo innanzi tutto la legge di Stefan Boltzmann:
P/A = e s T4
Dove:
P |
potenza in watt irraggiata |
A | area in m2 della superficie irraggiante |
e | coefficiente di emissività (fatta 1 per definizione la ‘e’ del corpo nero) |
s | costante pari a 5.6703 10-8 J s-1 m-2 K-4 |
T | temperatura in K |
Supponiamo ora di avere una parete N piana e perfettamente nera (i coefficienti di
emissione e di assorbimento eNe = eNa = 1 per
definizione di corpo nero) di estensione infinita.
Poniamo di fronte a essa a poca distanza una parete A (anch’essa infinita) con coefficiente di
emissione eAe e, poniamo, coefficiente di assorbimento eAa
≠ eAe per assurdo.
Facciamo un bilancio energetico per unità di superficie tra le due pareti
affacciate:
Calore irraggiato da N | CiN = s TN4 |
Calore riflesso da N | CrN = 0 (il corpo nero non riflette) |
Calore irraggiato da A | CiA = s eAe TA4 |
Calore riflesso da A | CrA = (1 – eAa) CiN = (1 – eAa )s TN4 |
Ora, all’equilibrio, il calore scambiato totale tra le due pareti dovrà
essere nullo quindi:
Ctot = CiN + CrN – CiA – CrA = 0
TN4 – eAe TA4 – TN4 + eAa TN4 = 0
da cui la temperatura di A all’equilibrio (teniamo fissa p. es. TN):
1) TAe = TN (eAa / eAe)1/4
E’ chiaro ora che, se i due coefficienti non fossero uguali, l’equilibrio
termico (scambio termico nullo) si otterrebbe per TAe ≠ TN
Supponiamo, sempre per assurdo, eAa > eAe quindi, per la 1):
TAe > TN
Ne consegue, per tutto l’intervallo aperto TAe > TA > TN Una trasmissione di
calore da N verso A con TA > TN in
contraddizione al II principio.
Supponiamo viceversa eAa < eAe quindi, per la 1):
TAe < TN Per tutto l’intervallo aperto TAe < TA < TN avremo una trasmissione di
calore da A verso N con TA < TN in
contraddizione al II principio.
Quindi non resta che: eAa = eAe