Il Calcolo infinitesimale è forse la maggior conquista che la mente umana abbia mai fatto nel corso della Storia dell’umanità; esso ha permesso progressi tecnico-scientifici enormi in tutti i campi dell’Ingegneria, della Fisica, e di tantissime altre parti della Scienza/Tecnica.
L’idea fondamentale che sta alla base del Calcolo è il maneggiare il concetto di “infinito” dal punto di vista dell’infinito “potenziale”, ovvero l’infinito trattato “dall’interno”, ovvero a partire dal finito, contrariamente al pericoloso concetto di infinito “attuale”. Già i matematici greci si erano scontrati con vari problemi che coinvolgevano l’infinito nelle sue varie forme, a partire dall’incommensurabilità, alle somme inifnite, al calcolo di aree, determinazione di tangenti, ecc…
Il Calcolo infinitesimale tuttavia ha avuto praticamente crescita 0 fino al tardo ‘600 dove le idee di due grandi della Matematica (e non solo) segnarono la Storia per sempre: Isaac Newton e Gottfried Leibniz. Indipendetemente (come si narra oggi) l’uno dall’altro, questi due scienziati inventarono il calcolo differenziale ed il calcolo integrale, le due componenti del calcolo infinitesimale.
Newton, più da fisico, era interessato soprattutto al problema di stabilire una relazione tra le velocità di grandezze, note le relazioni tra le grandezze stesse, velocità che lui chiamava flussioni, da cui calcolo delle flussioni. Le flussioni sono quelle che noi oggi conosciamo con il nome di derivata rispetto al tempo. L’idea di Newton era che ogni grandezza fluiva rispetto al tempo, ma la flussione, ovvero la velocità con cui la grandezza fluisce, non veniva definita, bensì nota una relazione R(x,y)=0 tra le grandezze fluenti, Newton andava a costruire “derivando rispetto al tempo” la relazione S(x’,y’)=0 tra le flussioni. Questo è il calcolo differenziale in Newton; per il calcolo integrale, meno sviluppato, Newton sapeva del Teorema fondamentale del calcolo, ovvero si era reso conto che “l’antiflussione” forniva l’area di una regione di piano ben precisa.
In Leibniz invece troviamo le notazioni classiche usate ancora oggi; Leibniz è infatti uno “statico”, ovvero le sue deduzioni sono puramente geometriche, la derivata y’=dy/dx è proprio un rapporto di infinitesimi per Leibniz. Va sottolineato in proposito che Leibniz non parla quasi mai di derivata; il calcolo di Leibniz è invece un calcolo dei differenziali vero e proprio.
Entrambe le linee di pensiero però poggiano su fondamenta deboli; in entrambi manca una precisa base che renda rigorosi i passaggi che oggi chiameremmo di “passaggio al limite”; il concetto di limite sarà una conquista del tardo ‘800 per opera prima di Cauchy (che in realtà ha operato nella prima metà del secolo) ed, in veste definitiva, di Weierstrass.