Il moto dell’elettrone intorno al nucleo è (meccanica di Newton), dall’equazione m(e) r¨ = – (e^2)/(r^2) + m r Θ´^2 Non sono stata brava ad inserire i simboli (i due puntini sulla r di derivata seconda e il puntino sulla theta) Mi potreste spiegare questa formula ? r (credo sia il raggio) e (?) e poi quel segno (-)dopo = cosa significa ?

Salve,

il tuo dubbio riguarda l'uso delle coordinate polari, e come ricavare le leggi del moto in tale sistema di coordinate. Per interpretare al meglio i risultati, faccio un piccolo riassunto del sistema di coordinate polari.

Le coordinate polari differiscono dalle cartesiane in quanto, invece di indicare ascissa e ordinata, la prima coordinata polare esprime la distanza del punto

PP

che stiamo descrivendo dall'origine del piano

OO

nel quale si svolge il moto, e si chiama raggio (indicato con

rr

). mentre la seconda esprime l'angolo che forma il vettore posizione del punto

OPOP

con l'asse delle ascisse

x^hat{x}

, e si chiama fase (indicata con

θ heta{}

). Mentre ascissa ed ordinata si misurano fisicamente in unità di lunghezza, solo il raggio ha dimensioni di una lunghezza, mentre la fase è adimensionale. Questa è una cosa buona da ricordare per l'analisi dimensionale. Una rappresentazione grafica può essere trovata al link

https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSyCEh5zQjBIrwYRV-OFYMt-T_H14BPujuk6LKfD0BJgUlC94tt

Il punto P non è segnato, ma è il punto di incrocio tra l'ipotenusa blu e il cateto minore rosso.

Da questo disegno ci possono essere suggerite le definizioni da dare delle coordinate polari, esprimendo la legge di passaggio da coordinate polari a coordinate cartesiane

x=rcosθx=r;cos heta

  

y=rsinθy= r; sin heta

che può essere invertita nella legge di passaggio da coordinate cartesiane a coordinate polari

r=x2+y2r=sqrt{x^{2}+y^{2}}

  

tanθ=yxtan heta=frac{y}{x}

Nel sistema cartesiano, descriviamo il vettore posizione di un punto dandone le coordinate moltiplicate per i versori. Indicando 

x^=(10)hat{x}=left(egin{array}{c} 1 0 end{array} ight)

   

y^=(01)hat{y}=left(egin{array}{c} 0 1 end{array} ight)

scriviamo il vettore posizione

Pvec{P}

nella forma

P=xx^+yy^vec{P}=xhat{x}+yhat{y}

dove

xx

e

y y

sono ascissa e ordinata. In un cambio di sistema di coordinate,

Pvec{P}

deve rimanere uguale, e devono cambiare solo le sue coordinate. Definendo quindi

r^=(cosθsinθ)=cosθx^+sinθy^ hat{r}=left(egin{array}{c} cos{ heta} sin{ heta} end{array} ight)= cos heta hat{x} + sin hetahat{y}

      

θ^=(sinθcosθ)=sinθx^+cosθy^hat{ heta}=left(egin{array}{c} -sin heta cos heta end{array} ight)=-sin hetahat{x}+cos hetahat{y}

(rispettivamente, il versore di

OPvec{OP}

e il versore ad esso ortogonale che punta in senso antiorario) possiamo invertire tali relazioni, e sostituendo le coordinate cartesiane di 

Pvec{P}

con quelle polari otteniamo

P=rr^vec{P}=rhat{r}

Attenzione: nonostante si usi un solo versore, il sistema è ancora a due coordinate, in quanto per conoscere le componenti di

r^hat{r}

bisogna conoscere

θ heta

.

Dopo questo cappelletto introduttivo, inseriamo la fisica. Chiamiamo

P(t)vec{P}(t)

la posizione del corpo all'istante

tt

: descriviamo tale vettore in coordinate polari, dando le due leggi orarie

r(t)r(t)

e

θ(t) heta(t)

. Nel seguito, tutte le quantità a parte le costanti (massa e carica) ovvie sono funzioni del tempo, ma ometteremo il

(t)(t)

. Per ricavare queste leggi orarie, dobbiamo usare l'equazione di Newton

F=mP̈vec{F}=mddot{vec{P}}

Calcoliamo

P̈ddot{vec{P}}

. In coordinate polari i versori sono costanti, e quindi

P=ẍx^+ÿy^vec{P}=ddot{x}hat{x}+ddot{y}hat{y}

. In rappresentazione polare vanno derivati anche i versori: effettuando la derivazione per funzioni composte, otteniamo

r^˙=θ˙θ^dothat{r}=dot{ heta}hat{ heta}

e

θ^˙=θ˙r^dot{hat{ heta}}=-dot{ heta}hat{r}

. Conoscendo queste regole di derivazione, otteniamo per la derivata prima

v=P˙=r˙r^+rθ˙θ^vec{v}=dot{vec{P}}=dot{r}hat{r}+rdot{ heta}hat{ heta}

r˙dot{r}

è la velocità con cui ci si sposta verso il centro e

rθ˙rdot{ heta}

è la velocità con cui ci si sposta attorno al centro. In particolare,

θ˙dot{ heta}

è definita come la velocità angolare del corpo. L'accelerazione è data da

a=P̈=(r̈rθ˙2)r^+(2r˙θ˙+rθ̈)θ^vec{a}=ddot{vec{P}}=(ddot{r}-rdot{ heta}^{2})hat{r}+(2dot{r}dot{ heta}+rddot{ heta})hat{ heta}

Ora bisogna esprimere la forza in coordinate radiali: dato che è diretta verso il centro, la forza si può esprimere semplicemente con

F=e2r2r^vec{F}=-frac{e^{2}}{r^{2}}hat{r}

Uguagliando le due quantità, abbiamo le equazioni del moto:

m(r̈rθ˙2)=e2r2m(ddot{r}-rdot{ heta}^{2})=-frac{e^{2}}{r^{2}}

2r˙θ˙+rθ̈=02dot{r}dot{ heta}+rddot{ heta}=0

Insieme alle condizioni iniziali, queste equazioni differenziali determinano completamente il moto dell'elettrone.

In generale, il moto dell'elettrone attorno al nucleo è dato da un'ellisse, con il nucleo in uno dei due fuochi. L'espressione analitica è piuttosto complicata, ma esistono delle condizioni iniziali che rendono la descrizione piuttosto semplice: sono le condizioni per le quali il moto risultante è circolare uniforme. Per trovarle, bisogna imporre

r(0)=R;;;dot{r}(0)=0;;; heta(0)= heta_{0};;;dot{ heta}(0)=omega

che l'elettrone rimanga sempre alla stessa distanza dal centro, da cui

r˙=0r̈=0dot{r}=0;;;ddot{r}=0

: allora si ottengono le equazioni

θ˙2=e2mr3dot{ heta}^{2}=frac{e^{2}}{mr^{3}}

     

θ̈=0ddot{ heta}=0

da cui la velocità angolare del corpo può essere presa costante, al valore

ω=e2mr3omega=sqrt{frac{e^{2}}{mr^{3}}}

. Le leggi che descrivono il moto sono

r(t)=rr˙(t)=0θ(t)=±ωt+θ0θ˙(t)=±ω r(t)=r;;;dot{r}(t)=0;;; heta(t)=pmomega t + heta_{0};;;dot{ heta}(t)=pmomega

dove

θ0 heta_{0}

è l'angolo iniziale, e si sceglie il segno

se la velocità iniziale dell'elettrone è in senso orario o + se è in senso antiorario.

Queste leggi descrivono il moto di un oggetto che rimane a distanza

rr

dal centro, senza mai cambiare la sua distanza, e si muove a velocità angolare costante lungo una circonferenza. Come vedi, per ottenere un moto del genere vi è bisogno di una forza diretta verso il centro, che cambia costantemente la direzione della velocità: infatti il moto circolare uniforme è un moto accelerato, in quanto anche se non cambia il modulo della velocità ne cambia la direzione.

  1. Nella risposta data c’è un link…
    ma probabilmente è errato perchè non si apre.