Salve,
il tuo dubbio riguarda l'uso delle coordinate polari, e come ricavare le leggi del moto in tale sistema di coordinate. Per interpretare al meglio i risultati, faccio un piccolo riassunto del sistema di coordinate polari.
Le coordinate polari differiscono dalle cartesiane in quanto, invece di indicare ascissa e ordinata, la prima coordinata polare esprime la distanza del punto che stiamo descrivendo dall'origine del piano nel quale si svolge il moto, e si chiama raggio (indicato con ). mentre la seconda esprime l'angolo che forma il vettore posizione del punto con l'asse delle ascisse , e si chiama fase (indicata con ). Mentre ascissa ed ordinata si misurano fisicamente in unità di lunghezza, solo il raggio ha dimensioni di una lunghezza, mentre la fase è adimensionale. Questa è una cosa buona da ricordare per l'analisi dimensionale. Una rappresentazione grafica può essere trovata al link
https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSyCEh5zQjBIrwYRV-OFYMt-T_H14BPujuk6LKfD0BJgUlC94tt
Il punto P non è segnato, ma è il punto di incrocio tra l'ipotenusa blu e il cateto minore rosso.
Da questo disegno ci possono essere suggerite le definizioni da dare delle coordinate polari, esprimendo la legge di passaggio da coordinate polari a coordinate cartesiane
che può essere invertita nella legge di passaggio da coordinate cartesiane a coordinate polari
Nel sistema cartesiano, descriviamo il vettore posizione di un punto dandone le coordinate moltiplicate per i versori. Indicando
scriviamo il vettore posizione nella forma
dove e sono ascissa e ordinata. In un cambio di sistema di coordinate, deve rimanere uguale, e devono cambiare solo le sue coordinate. Definendo quindi
(rispettivamente, il versore di e il versore ad esso ortogonale che punta in senso antiorario) possiamo invertire tali relazioni, e sostituendo le coordinate cartesiane di con quelle polari otteniamo
Attenzione: nonostante si usi un solo versore, il sistema è ancora a due coordinate, in quanto per conoscere le componenti di bisogna conoscere .
Dopo questo cappelletto introduttivo, inseriamo la fisica. Chiamiamo la posizione del corpo all'istante : descriviamo tale vettore in coordinate polari, dando le due leggi orarie e . Nel seguito, tutte le quantità a parte le costanti (massa e carica) ovvie sono funzioni del tempo, ma ometteremo il . Per ricavare queste leggi orarie, dobbiamo usare l'equazione di Newton
Calcoliamo . In coordinate polari i versori sono costanti, e quindi . In rappresentazione polare vanno derivati anche i versori: effettuando la derivazione per funzioni composte, otteniamo e . Conoscendo queste regole di derivazione, otteniamo per la derivata prima
è la velocità con cui ci si sposta verso il centro e è la velocità con cui ci si sposta attorno al centro. In particolare, è definita come la velocità angolare del corpo. L'accelerazione è data da
Ora bisogna esprimere la forza in coordinate radiali: dato che è diretta verso il centro, la forza si può esprimere semplicemente con
Uguagliando le due quantità, abbiamo le equazioni del moto:
Insieme alle condizioni iniziali, queste equazioni differenziali determinano completamente il moto dell'elettrone.
In generale, il moto dell'elettrone attorno al nucleo è dato da un'ellisse, con il nucleo in uno dei due fuochi. L'espressione analitica è piuttosto complicata, ma esistono delle condizioni iniziali che rendono la descrizione piuttosto semplice: sono le condizioni per le quali il moto risultante è circolare uniforme. Per trovarle, bisogna imporre che l'elettrone rimanga sempre alla stessa distanza dal centro, da cui : allora si ottengono le equazioni
da cui la velocità angolare del corpo può essere presa costante, al valore . Le leggi che descrivono il moto sono
dove è l'angolo iniziale, e si sceglie il segno se la velocità iniziale dell'elettrone è in senso orario o + se è in senso antiorario.
Queste leggi descrivono il moto di un oggetto che rimane a distanza dal centro, senza mai cambiare la sua distanza, e si muove a velocità angolare costante lungo una circonferenza. Come vedi, per ottenere un moto del genere vi è bisogno di una forza diretta verso il centro, che cambia costantemente la direzione della velocità: infatti il moto circolare uniforme è un moto accelerato, in quanto anche se non cambia il modulo della velocità ne cambia la direzione.
Nella risposta data c’è un link…
ma probabilmente è errato perchè non si apre.