Salve. La teoria della relatività generale descrive l’interazione gravitazionale come una deformazione dello spazio tempo. In questo modello un pianeta segue “liberamente” il percorso che gli viene imposto. In pesenza di una massa sospesa, attaccata ad un dinamometro, cosa genera la forza che osserviamo; evidente come deformazione della molla?

Salve.

Come hai capito correttamente, l'effetto della presenza di massa (o meglio, di energia-impulso) nello spaziotempo è quello di "deformare lo spaziotempo", creando delle curve lungo le quali tutti i corpi si muovono in ugual maniera. Per poter comprendere bene questo concetto, però, bisogna aver familiarità col concetto di "evento", che promuove il tempo a coordinata. Vediamo di sviluppare l'aspetto intuitivo di questa concezione, prima di addentrarci in un pò di matematica.

Nella meccanica newtoniana, osservando il moto libero di un corpo da un sistema di riferimento inerziale, noteremo che se non vi sono forze agenti su di esso il corpo si muoverà di moto rettilineo uniforme. Ciò vuol dire che la sua traettoria nello spazio tridimensionale viene rappresentata da una linea retta, che viene percorsa con velocità uniforme. Per descrivere questo moto, si usa il parametro "tempo", scrivendo le cosiddette leggi orarie del corpo: funzioni dipendenti dal tempo che dicono in quale punto si trova un corpo ad un istante arbitrario. Le leggi orarie per un moto rettilineo uniforme sono piuttosto semplici: supponendo che all'istante 0 il corpo si trovi nell'origine degli assi (è un caso generale, in quanto basta ridefinire la nostra scelta di origine degli assi per ottenere tale condizione), la sua legge oraria sarà data da

x=vtvec{x}=vec{v}t

, dove

vvec{v}

è la velocità iniziale del corpo. La traettoria disegnata da un oggetto in moto rettilineo uniforme è data da una linea retta nello spazio tridimensionale.

Non si può, però, descrivere un moto dandone solo la traettoria, in quanto non possiamo ad esempio distinguere un moto rettilineo uniforme da un moto rettilineo uniformemente accelerato (in entrambi i casi ci si muove in linea retta, ma nel primo caso la retta è percorsa con velocità uniforme, mentre nel secondo la retta è percorsa con velocità variabile). Per poter visualizzare correttamente tale moto, possiamo pensare anche al tempo come coordinata: ciò è particolarmente utile nei casi descritti dalla relatività generale, in quanto il tempo non è assoluto, ma è fattibile anche in meccanica newtoniana. Per poter visualizzare dei grafici, pensiamo in due dimensioni, una spaziale ed una temporale. Per dare la posizione spaziotemporale di un corpo, abbiamo bisogno di due coordinate: il tempo t e lo spazio x misurati da un osservatore, che formano l'insieme di coordinate (t,x), chiamato evento. Ad esempio, se lanciamo una palla dalle nostre mani alla velocità di 5 m/s, sappiamo che dopo 1 s questa palla si sarà mossa di 5 m: dal punto di vista delle coordinate spaziotemporali, possiamo dire che la palla passerà per gli eventi (1 s, 5 m), (2 s, 10 m) e via dicendo. Per descrivere un moto, bisogna scegliere un parametro, che ha il ruolo di collegare le informazioni tra le varie coordinate: si ottengono così delle leggi

t(λ),x(λ)t(lambda), x(lambda)

: tali leggi affermano che, per ogni valore del parametro

λlambda

, il corpo si trova all'istante

t(λ)t(lambda)

nella posizione

x(λ)x(lambda)

.

In questa descrizione, il moto rettilineo uniforme è descritto da 

t(λ)=λ,x(λ)=vλt(lambda)=lambda, x(lambda)=vlambda

ed è rappresentato sul piano (t,x) da una linea retta, mentre il moto rettilineo uniformemente accelerato è descritto da

t(λ)=λ,x(λ)=vλ+12λ2at(lambda)=lambda, x(lambda)=vlambda+frac{1}{2}lambda^{2}a

(con

aa

accelerazione del corpo), rappresentato sul piano (t,x) da una parabola orizzontale (mettendo il tempo in ordinata e lo spazio in ascissa, convenzione che useremo sempre). Possiamo subito convincerci del fatto che, dati due punti sul piano (t,x), la linea a lunghezza minore tra quelle che hanno per estremi questi due punti è una retta. Possiamo quindi riformulare il primo principio della dinamica newtoniana: un corpo libero da forze esterne osservato da un sistema di riferimento inerziale si muoverà secondo linee rette. Una forza esterna può influire sul moto del corpo deviandolo da tali linee: è il caso ad esempio della forza gravitazionale sulla superficie terrestre, che fa descrivere al corpo una parabola sul grafico spaziotemporale (ricorda che stiamo pensando in una dimensione e la parabola non è una parabola spaziale). Per avvicinarsi alla tua domanda, un corpo fermo (che quindi verrebbe descritto da una linea verticale nel grafico spaziotemporale), quando soggetto alla forza di richiamo di una molla, devia da tale traettoria spaziotemporale, in quanto una forza agisce su di esso.

Nel caso della relatività generale, si perde il concetto di "sistema di riferimento inerziale" e si preferisce usare il concetto di metrica: essa è uno strumento usato per misurare la distanza spaziotemporale tra due punti molto vicini. I corpi continuano a muoversi, se liberi, seguendo le linee "rette" secondo la metrica che descrive lo spaziotempo (tali linee sono dette geodetiche). L'effetto della gravità è quello di cambiare il nostro concetto di "linea retta": ad esempio, nel caso della gravità di superficie, le geodetiche seguite spontaneamente dagli oggetti cosiddetti freely falling (che dal punto di vista newtoniano si traduce con "senza forze esterne agenti su di essi, a parte la gravità") sono parabole, e si può dire che nella metrica che descrive la gravità di superficie le parabole sono l'equivalente delle "linee rette" seguite dai corpi liberi. Nota che non stiamo classificando la gravità come forza. I corpi che deviano dalle geodetiche stanno accelerando: stanno seguendo un moto non libero, e possiamo dedurre che su di essi sta agendo una forza (non gravitazionale).

Ora, una questione che può sembrare controintuitiva: le linee rette sul piano

(t,x), (t,x)

in relatività ristretta (quindi in assenza di gravita), sono le linee più lunghe che collegano due punti dello spaziotempo. Mentre nella normale geometria euclidea la lunghezza di una retta è data da

l2=Δx2+Δy2l^{2}=Delta x^{2}+Delta y^{2}

, nello spaziotempo piatto la lunghezza di una linea retta è data da

τ2=– c2Δt2+Δx2 au^{2}=c^{2}Delta t^{2}-Delta x^{2}

(con c velocità della luce): il segno meno è quello che porta a questo (apparente) paradosso. La quantità

τ au

che misura la "lunghezza" della curva è detta tempo proprio, e rappresenta il tempo che sente scorrere un corpo che si muove seguendo tale traettoria spaziotemporale (puoi visualizzare tale fatto immaginando che il corpo abbia attaccato un orologio: il tempo proprio lungo la curva che segue il corpo è dato dal tempo passato misurato da tale orologio). Il celebre paradosso dei gemelli di Einstein dà un esempio delle conseguenze di questo fatto: il gemello sulla Terra, che non subisce accelerazione, sente scorrere più tempo rispetto al gemello che parte per un pianeta lontano e torna indietro: il gemello sulla Terra si muove lungo una geodetica, l'altro deve invertire la propria velocità e quindi accelera, deviando dalla geodetica. Possiamo quindi dire che in relatività generale le curve seguite naturalmente dagli oggetti sono le curve più lunghe, dove la lunghezza è misurata secondo la metrica che descrive gli effetti gravitazionali: dato che, a seconda della distribuzione di energia-impulso, la metrica può essere delle più svariate forme, queste curve possono essere anche molto diverse da una retta.

Se attacchiamo una molla ad un oggetto nel campo gravitazionale e portiamo il sistema all'equilibrio, secondo il punto di vista newtoniano essa sarà in tensione perché deve bilanciare la forza peso, quindi l'oggetto non accelera. Dal punto di vista della relatività generale, invece, tale corpo disegna sul diagramma spaziotemporale una linea verticale, che non è la curva più lunga secondo la metrica che descrive la gravità di superficie (come detto, la curva geodetica in questa situazione è, in ottima approssimazione, una parabola): deve quindi essere presente una forza, e tale forza è data dall'elongazione della molla.

Adesso segue una parte in cui si usa la matematica della geometria differenziale per rendere concrete queste affermazioni. Se non sei versato in questi argomenti, puoi trovare un'ottima fonte di studio dal sito http://ned.ipac.caltech.edu/level5/March01/Carroll3/Carroll_contents.html (in inglese) che altro non è che la versione online del libro di Sean Carroll "Spacetime and geometry: an introduction" pubblicata liberamente dall'autore (un ottimo libro per iniziare a studiare la relatività generale, che però richiede una buona conoscenza di matematica per essere affrontato).

La metrica per descrivere il moto di un oggetto in campo gravitazionale costante (come sulla superficie della Terra) è data da

((1+2gx)001)left(egin{array}{cc} -(1+2gx) & 0 0 & 1 end{array} ight)

considerando la gravità sull'asse x di accelerazione

gg

, e l'unico simbolo di Christoffel non nullo è dato da

Γ001=gGamma^{1}_{00}=g

. Un corpo fermo segue la traettoria

xμ(λ)=(λ,x0)x^{mu}(lambda)=(lambda,x_{0})

 (con 

x0x_{0}

posizione iniziale) di tangente 

Tμ(λ)=(1,0)T^{mu}(lambda)=(1,0)

sempre costante: possiamo calcolare l'accelerazione lungo questa curva tramite

aμ=TννTμ=ΓνρμTρTνa^{mu}=T^{ u} abla_{ u}T^{mu}=Gamma^{mu}_{ u ho}T^{ ho}T^{ u}

(dato che la tangente è costante le derivate parziali si annullano). Usando i simboli ricavati, otteniamo 

a0=0a^{0}=0

a1=ga^{1}=g

. Interpretiamo tale risultato: la curva sulla quale ci muoviamo non è una curva geodetica (altrimenti tutte le componenti dell'accelerazione sarebbero nulle): in particolare, la componente 0 dell'accelerazione ci dice che il corpo non cambia velocità (il significato della componente 0 della quadriaccelerazione è quello di misurare il cambio in valore assoluto della velocità del corpo, così come la componente 0 della quadriforza misura il lavoro fatto dalla forza sul corpo), mentre la componente 1 ci dice che il corpo sta accelerando verso l'"alto" ad accelerazione

gg

. Ma noi sappiamo che corpi che si muovono in questa metrica tendono ad andare verso il "basso" con accelerazione opposta: nel nostro sistema di coordinate, il corpo avrà quindi posizione fissa (come abbiamo imposto all'inizio), ma ci sarà bisogno di una forza agente su di esso per mantenerlo in posizione fissa. Moltiplicando l'accelerazione per la massa del corpo test, la forza richiesta è

F1=mgF^{1}=mg

, esattamente come nel caso newtoniano (notiamo inoltre che il lavoro fatto da tale forza è dato da

F0=0F^{0}=0

, come ci si aspetta dato che il corpo è fermo): qualcosa deve esercitare una forza uguale e contraria alla forza gravitazionale per tenere il corpo fermo. Se questa forza è esercitata da una molla, essa si elongherà per fornire la forza necessaria tramite la sua forza di richiamo, allungandosi, come ci si aspetta, della quantità

l=mgkl=frac{mg}{k}

, con

kk

costante elastica. Nota come abbiamo inserito l'informazione della molla solo alla fine, e la forza che tiene il corpo fermo può essere di qualsiasi origine.

Spero di essere stato abbastanza comprensibile, per eventuali chiarimenti non esitare a contattarmi.