Prima di tutto va corretto l'errore nella domanda posta: le due equazioni x=y e x2=y2 non sono equivalenti se uno vuole risolverle in R, basta osservare che (x,y)=(1,-1) è una soluzione dell'equazione x2=y2 ma non risolve l'equazione x=y; è comunque facile aggiustare il tiro, basta considerare le due equazioni x=y e x3=y3. Il fatto che equazioni formalmente diverse possano avere lo stesso insieme di soluzioni ovviamente non può portare a considerazioni dirette su tale insieme: ad esempio, l'insieme {(x,x) : x ∈ R} è l'insieme delle soluzioni dell'equazione, in R, data da x=y, così come è l'insieme delle soluzioni dell'equazione x3=y3, o ancora x5=y5, o ancora ex(x-y)(x2+y4+6)=0, equazioni tutte formalmente distinte.
Fino a qua considerazioni del tutto elementari. La domanda posta appare interessante sotto un altro punto di vista: infatti induce a riflettere su cosa sia un'equazione, questione tutt'altro che banale e di risposta non immediata. Un'equazione è un'uguaglianza tra due membri: questa definizione ci è stata data a scuola, e probabilmente anche all'università. Tanti possono essere accontentati, ma un vero matematico non è soddisfatto: cosa è un membro? come è definito? cosa è definita l'uguaglianza? Lo stesso problema si presenta, ad esempio, quando ci danno la definizione elementare di funzione: una funzione è una legge che associa ad ogni elemento di un insieme, detto dominio della funzione, uno ed un solo elemento di un altro insieme, detto codominio della funzione. Nei corsi universitari però impariamo la definizione corretta di funzione: una funzione è un insieme, e precisamente una funzione f è un insieme di coppie ordinate tale che (x,y) ∈ f e (x,z) ∈ f implica che y=z; si dimostra successivamente che se f è una funzione allora esiste un unico insieme X, detto dominio di f, tale che x ∈ X se e solo (x,y) ∈ f per qualche y, ed esiste un unico insieme Y, detto immagine di f, tale che y ∈ Y se e solo (x,y) ∈ f per qualche x. Proprio la consapevolezza che gli oggetti matematici fondamentali, come ad esempio funzioni e numeri naturali, possono essere espressi nel linguaggio della teoria degli insiemi, ha spinto i matematici a scegliere la teoria assiomatica degli insiemi come fondamento dell'intera matematica. Ma torniamo al nostro problema: cosa è un'equazione? È possibile dare una definizione rigorosa nella teoria degli insiemi, così come succede per le funzioni? Una possibile strada è suggerita dallo stesso autore della domanda: un'equazione è, per definizione, l'insieme delle sue soluzioni. Precisiamo meglio la cosa: l'insieme {0,1} è un'equazione, e precisamente rappresenta, per definizione, tutte le equazioni che hanno come soluzioni x=0 e x=1; ad esempio, in R le equazioni x(x-1)=0 o (x3-1)√|x|=0. Con questa definizione la domanda posta dall'autore si svuota di significato. Si può fare di meglio? In effetti questa definizione puramente insiemistica appare lontana dalla definizione ingenua di equazione, ovvero di uguaglianza tra due membri. Per ripristinare la definizione elementare dobbiamo tornare fino alla logica, sulla quale si costruisce formalmente la teoria assiomatica degli insiemi. Precisamente, nella logica dei predicati del primo ordine, tra le altre cose, vi sono i predicati, ovvero le proposizioni il cui valore di verità dipende da variabili, e che vengono denotati con p(x), e altri simboli, tra cui troviamo il simbolo di uguaglianza =. Nella logica ci sono poi le formule ben formate: ad esempio, la scrittura p(x)= non è una formula ben formata, poiché dopo il simbolo = non figura alcun simbolo, mentre sono formule ben formate ∃x p(x)=y o anche ∀x p(x)=y (i predicati se dipendenti da variabili devono essere sempre soggetti a quantificazione). Abbiamo già capito allora cosa è un'equazione, i due esempi scelti per mostrare formule ben formate non erano casuali: un'equazione è un predicato con uguaglianza, nozione che formalizza proprio una scrittura del tipo p(x)=y.