Il peso sulla superficie di Saturno è poco più o poco meno rispetto al peso sulla superficie della Terra? Alcuni siti, tipo wikipedia, danno 8,96 per l’accelerazione di gravità, mentre facendo i miei calcoli mi trovo un valore di 10,44 m/s^2. Sbaglio io o loro? Grazie anticipatamente.

L’accelerazione di gravità di un pianeta oltre che dall’inverso del quadrato della distanza, dipende anche dalla densità stessa del pianeta, tutto ciò partendo dalla classica formula

F=GMmr2F= G frac{M m}{r^{2}}

dove m= massa di prova mentre la massa del pianeta risulta M= ρV, quindi.

F=GρVmr2F=G frac{ρ V m}{r^{2}}

dove il volume vale: 

V=43πr3V= frac{4}{3} π r^{3}

che, sostituito nella formula precedente, da:

F=Gρ43πr3mr2F= G frac{ρ frac{4}{3} π r^{3} m}{r^{2}}

Essendo F = ma  si ottiene

ma=Gρ43πr3mr2ma = G frac{ρ frac{4}{3} π r^{3} m}{r^{2}}

dalla quale, semplificando m e r, si ottiene finalmente:

a=43πGρra = frac{4}{3} π G ρ r

Nel caso della Terra, sostituendo i relativi valori di densità e raggio, si ottiene:

aTerra=43π*6.67*1011*5.51*103*6371*103=9.802ms2a_{Terra} = frac{4}{3} π * 6.67*10^{-11} * 5.51*10^{3} * 6371*10^{3} = 9.802 frac{m}{s^{2}}

mentre per Saturno si ottiene:

aSaturno=43π*6.67*1011*0.7*103*58232*103=11.37ms2a_{Saturno} = frac{4}{3} π * 6.67*10^{-11} * 0.7*10^{3} * 58232*10^{3} = 11.37 frac{m}{s^{2}}

Analoghi risultati si ottengono utilizzando la formula classica di gravitazione universale quindi i calcoli eseguiti dal lettore sono giusti.

Confrontando però i dati riportati su wikipedia con quelli delle tabelle della Nasa, si notano diverse cose:
(link: [WIKI]:http://it.wikipedia.org/wiki/Saturno_(astronomia) ; [NASA]: http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/saturnfact.html )

  • Per calcolare l’attrazione gravitazionale di un pianeta GASSOSO applicando la legge di gravitazione universale si considera come superficie del pianeta il punto in cui la pressione atmosferica è pari ad 1 bar (valore standard di misura) dato il fatto che si hanno diversi gradienti di pressione e temperatura (ma non è questo il nodo della questione);
  • La notevole differenza di valori tra quello tabulato dalla Nasa e quello di wikipedia sta nel fatto che l’accelerazione di gravità di un pianeta oltre a dipendere da fattori quali le masse in gioco, la densità del pianeta e la distanza dipende anche dalla velocità di rotazione del pianeta stesso, quindi dal contributo della forza centrifuga.

Da questo secondo punto, utilizzando anche la tabella di approfondimento della Nasa (link: http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/fact_notes.html) si notano che i due numeri a noi familiari si riferiscono a due cose ben distinte e separate, come suggerisce l’immagine (montata da me in modo da velocizzare la lettura e la comprensione):

Quindi, il numerino riportato su wikipedia si riferisce (parafrasando) all’accelerazione di gravità INCLUDENDO l’effetto di rotazione del pianeta.

Il contributo della forza centrifuga alla forza di gravità è calcolabile tramite la relazione:

aFc=a0ω2rcos2(ϑ)a_{Fc} = a_{0} – ω^{2} r cos^{2}(ϑ)

dove:  

a0a_{0}

è l’accelerazione di gravità senza il contributo della rotazione del pianeta;

          ω è la velocità angolare del pianeta, pari a

2πTfrac{2π}{T}

, con T periodo di rotazione del pianeta;

          r raggio del pianeta;

          ϑ latitudine di riferimento.

Come prima, nel caso della Terra si ottiene (in entrambi i calcoli si è posto ϑ= 0 in quanto supponiamo di trovarci all’equatore):

aFcTerra=9.815.28*109*6371=9.813.36*105ms2a_{FcTerra} = 9.81 – 5.28*10^{-9} * 6371 = 9.81 – 3.36*10^{-5} frac{m}{s^{2}}

quindi, come si vede, per la Terra il contributo della forza centrifuga è trascurabile mentre, per quanto riguarda Saturno si ottiene:

aSaturno=10.442.68*108*58.232*106=10.441.568.88ms2a_{Saturno} = 10.44 – 2.68*10^{-8} * 58.232*10^{6} = 10.44 – 1.56 ≈ 8.88 frac{m}{s^{2}}

Come volevasi dimostrare su Saturno il contributo della forza centrifuga è molto importante tanto da portare una differenza notevole dell’accelerazione di gravità.

 

P.s.: il valore da me ottenuto è diverso da quello tabulato in quanto ho usato dei valori arrotondati di π, raggio terrestre e di saturno, oltre ai rispettivi periodi di rotazione, ma con i valori giusti con tutte le cifre significative i numeri dovrebbero tornare senza problemi.