Il teorema di Poincarè afferma che un sistema dinamico è destinato, dopo un tempo sufficientemente lungo, a tornare in uno stato simile a quello iniziale.
Per capire meglio questa affermazione è necessario familiarizzare con il linguaggio matematico dei sistemi dinamici.
Un sistema dinamico è un’insieme di equazioni che descrive l’evolversi nel tempo di un insieme di grandezze che, in genere, descrivono il comportamento di un sistema fisico. Ad esempio un sistema dinamico potrebbe essere l’insieme delle equazioni che descrivono il moto dei pianeti e del Sol del sistema solare che interagiscono tra loro mediante la forza di gravità, in tal caso le grandezze sarebbeo le posizioni e le velocità dei diversi oggetti decritti. Un altro sistema dinamico potrebbe essere un insieme di equazioni che descrivono, in ambito meteorologico, come cambiano nel tempo e nello spazio la velocità, la temperatura e la pressione dell’aria.
Dal punto di vista matematico il modo più semplice per analizzare le proprietà di questi sistemi è utilizzare quello che si chiama “Spazio delle Fasi”, un insieme in cui ogni elemento è una sequenza di numeri, ciascun numero è il valore di una delle grandezze coinvolte nelle equazioni del sistema dinamico. Nell’esempio del sistema solare uno di questi elementi sarebbe una lunga sequenza di numeri contenenete le tre coordinate del Sole e le tre componenti della sua velocità nonché le tre coordinate e le tre componenti delle velocità degli 8 pianeti principali (trascuriamo, per semplificare l’esempio, i pianeti nani e gli asteroidi). Un sistema dinamico che descrivesse una mole di gas avrebbe uno spazio delle fasi in cui ciascun elemento è una sequenza di circa 3.6*1024 numeri (6 numeri, coordinate e componenti della velocità, per ciascuna molecola di gas). Quindi ogni elemento dello spazio delle fasi rappresenta una possibile condizione, un possibile stato, in cui si può trovare il sistema fisico descritto dal sistema dinamico. Una volta scelta una condizione iniziale il sistema dinamico descrive le diverse condizioni che si realizzano negli istanti successivi e la cosa interessante è che, per quanto possa essere complicato il sistema fisico di provenienza, i diversi stati si dispongono lungo una curva che attraversa lo spazio della fasi.
All’interno dello spazio delle fasi è possibile costruire una metrica, cioè una formula che fornisce un numero che ha il significato di distanza tra due elementi dello spazio delle fasi, cioè tra due possibili stati del sistema dinamico.
Quello che afferma il teorema di Poincarè è che qualunque sia il valore d che fissiamo, esiste un valore T del tempo, lontano dal valore iniziale 0, per cui la distanza tra lo stato iniziale e quello raggiunto al tempo T è minore di d. Naturalmente questo teorema diventa significativo quando d è molto piccolo, in particolare se d è talmente piccolo da essere minore degli errori sulle misure che siamo in grado di effettuare sul sistema fisico, perchè in tal caso siamo praticamente icamapci di distinguere lo stato al tempo T da quello iniziale e possiamo legittimamente affermare che il sistema è tornato nello stato iniziale. In pratica ogni sistema, alla lunga, si comporta come un corpo attaccato ad una molla in assenza di attrito che periodicamente torna nella stessa posizione con la stessa velocità.
Tuttavia è possibile dimostrare che il valore di T cresce fattorialmente al crescere della lunghezza della sequenza di numeri che costituisce l’elemento generico dello spazio delle fasi. Se per un singolo corpo attaccato ad una molla T può anche essere frazioni di secondo, già per un sistema microscopicamente grande (ma macroscopicamente piccolo) come una mole di gas T diventa centinaia di volte più lungo della vita del nostro universo. Pertanto la reversibilità spontanea macroscopica resta comunque impossibile da osservare praticamente.