Salve. Ci stiamo allontanando dal Sole, come succede alla Luna? Grazie Distinti saluti

Partiamo subito dicendo che a causa delle maree, come la Luna si allontana dalla Terra,  anche la Terra fa lo stesso nei confronti del Sole, solo che in questo caso gli effetti sono così lenti da risultare del tutto impercettibili. Oltre tutto è impossibile anche una stima sperimentale a posteriori visto che il Sole, negli stessi istanti, sta sperimentando analoghi effetti ma ben più consistenti da parte degli altri corpi, fra i quali, soprattutto, da parte di Giove e degli altri pianeti.
La ragione di questo fenomeno, cioè dell'allontanamento, risiede in un principio della fisica denominato conservazione del momento angolare di un sistema isolato.
Il sistema Terra-Sole è ben lungi dall’essere isolato, ma se trascuriamo tutti gli effetti degli altri corpi (che come abbiamo detto non sono affatto trascurabili ma anzi, al contrario, preponderanti) possiamo tentare una stima dell’effetto.

Dovremmo considerare non solamente la Terra, ma il sistema Terra-Luna. Tuttavia, per amor di calcolo, prenderemo in esame solamente la Terra ed il Sole, ben consapevoli di introdurre qualche per cento aggiuntivo di errore nelle quantificazioni.
Prendiamo come riferimento il centro del Sole (rigorosamente sarebbe il centro di massa del sistema ma quando sono in gioco il Sole e la Terra questi è praticamente coincidente col centro geometrico del Sole).

Il momento angolare totale del sistema Sole più Terra è dato da tre quantità: il momento angolare del Sole attorno al proprio asse, il momento della Terra intorno al Sole, il momento della Terra attorno a sé.
In formule:

(1)

ISωS+MTr2ωO+ITωRISωS+MTr2ωO=costanteI_Sω_S+M_Tr^2ω_O+I_Tω_R simeq I_Sω_S+M_Tr^2ω_O=cost

dove abbiamo posto con IS il momento d'inerzia del Sole attorno a se stesso, con MT la massa della Terra, con r il raggio orbitale, pari all'unità astronomica, e con ω le tre velocità angolari: rispettivamente del Sole (S), della Terra nel suo moto orbitale (O) e di rotazione attorno al proprio asse (R).

Per essere precisi ciò che di fatto si conserva è, di principio, la somma vettoriale delle tre quantità, per cui c'è un effetto di proiezione dato che l'asse di rotazione terrestre è inclinato rispetto all'eclittica (e in misura minore anche quello solare). Dato che il termine 

ITωRI_T omega_R

è trascurabile (come vedremo poco più avanti), non c'è differenza nella trattazione, e anche trascurare l'inclinazione dell'asse solare introduce un errore piccolo rispetto alle altre approssimazioni.
Non è facile quantificare il momento d'inerzia dei due corpi celesti anche perché nessuno conosce con precisione la costituzione interna della Terra e del Sole. Prendiamo per entrambi gli astri dei modelli, abbastanza attendibili, ma pur sempre semplificazioni delle reali situazioni.

Per quanto riguarda il Sole i modelli attuali indicherebbero che nei primi 160000 km, circa un quarto dell'intero raggio solare, sia contenuto il 40% dell’intera massa, così abbiamo elaborato un modello a 2 strati molto grossolano ma capace almeno di rispettare l’ordine di grandezza, dal quale si ottengono 8,42 1047 kg m2.

Per la Terra abbiamo invece effettuato una schematizzazione a 3 strati, col primo di densità media pari a 12000 kg/m3 fino a 3470 km, un secondo strato di 4300 kg/m3 fino a 6330 km ed il terzo, di densità 3000 kg/m3 fino alla superficie. Otteniamo 8,13 1037 kg m2, cioè un momento d’inerzia di ben 10 ordini di grandezza inferiore rispetto a quello del Sole. La massa della Terra è invece conosciuta con ragguardevole precisione ed è pari a 5,97 1024 kg, così come pure quella del Sole pari a 1,99 1030 kg.

La velocità angolare del Sole (ωS) non è facile da calcolarsi visto che il Sole ha una rotazione differenziale, è più veloce all’equatore e più lento ai poli. In questo caso possiamo schematizzare il Sole come un corpo rigido che compie un’intera rotazione in un tempo intermedio fra il periodo degli strati equatoriali e quello degli strati polari. Attribuiamo come valore del periodo medio 27 giorni. Così facendo abbiamo:

ωS=2.69106rad/somega_S=2.69cdot 10^{-6} rad/s

.

Più facili sono le restanti velocità angolari:

ωO=2,05107rad/somega_O=2,05 cdot 10^{-7} rad/s

e

ωR=7.29105rad/s

.

Appare subito evidente che il secondo addendo della formula (1) è circa il 4% del primo, mentre il terzo è ben 8 ordini di grandezza più piccolo, il che ci induce a trascurarlo, come abbiamo anticipato prima.

L'azione di marea che il Sole esercita sulla Terra e che la Terra esercita sul Sole per il principio di azione e reazione dissipa energia cinetica, si parla infatti di frizione mareale, ma non momento angolare, che invece si conserva. Il processo in linea di principio durerà fino a quando la Terra rivolgerà sempre la stessa faccia al Sole, e parimenti il Sole darà sempre la stessa faccia alla Terra ed il moto di rotazione e di rivoluzione terrestri coincideranno. Matematicamente significa che i tre ω finali saranno uguali tra loro.

Essendo il momento d'inerzia complessivo una quantità costante la sua derivata rispetto al tempo sarà nulla, cioè:

(2)

ISω˙S+MTrω˙O+2MTrr˙ωO=0I_S dot omega_S +M_T r dot omega_O+2 M_T r dot r omega_O=0

Un'altra applicazione della conservazione del momento angolare, applicata alla Terra nella fattispecie e considerata come punto materiale, conduce alla terza legge di Keplero. Anche in questo caso possiamo scriverla in funzione del raggio orbitale e della velocità angolare:

(3 )  r3ωO2=costante(3) r^3 omega_O^2=costante

da cui

(4)

3r2ωO2r˙+2r3ωOω˙O=03 r^2 omega_O^2 dot r +2 r^3 omega_O dot omega_O=0

Essa permette di esplicitare 

ω˙Odot omega_O

(la derivata di ωOomega_O rispetto al tempo) in funzione di

ωO ome

stessa:

(5)

rω˙O=3/2ωOr˙r dot omega_O = -3/2 omega_O dot r

che sostituita nella (2) la fa diventare

(6)

ISω˙S3/2MTrωOr˙+2MTrωOr˙=0ISω˙S+1/2MTrωOr˙=0I_S dot omega_S – 3/2 M_T r omega_O dot r + 2 M_T r omega_O dot r = 0 ightarrow I_S dot omega_S + 1/2 M_T r omega_O dot r = 0

Dalla legge di Gravitazione Universale possiamo ricavare

(7) 

ωO=GMS/r3omega_O= sqrt {G M_S/r^3}

In definitiva, sostituendo opportunamente:

(8) 

ISω˙S=1/2MTGMS/rI_S dot omega_S=-1/2 M_T sqrt {G M_S /r}

La (8) si può integrare rispetto al tempo per ricavare r finale. Per la verità, così facendo, otterremmo due incognite: la velocità angolare finale, alla sinistra dell'equazione, e la distanza finale, alla destra. In prima approssimazione possiamo però porre la velocità angolare finale uguale e zero e verificare a posteriori se l'assunzione fatta è ragionevole.

Al termine dell'integrazione avremo:

(9)

r(finale)=(ISωS(iniziale)GMT2MS+r(iniziale))2r(finale)=left( frac{I_S omega_S (iniziale)}{sqrt{GM_T^2M_S}}+ sqrt{r(iniziale)} ight)^2

Sostituendo i valori numerici espressi sopra otteniamo

r (finale) = 1,11⋅1015 m

in pratica ben oltre 7000 volte la distanza attuale, oltre Plutone, in piena nube di Oort. Con tale valore, se sostituiamo a ritroso nella (7) otteniamo ω(finale) = 4,6⋅10-12 rad/s che, rispetto ai 2,69 10-6 rad/s iniziali, giustifica pienamente l'assunzione iniziale di porre la velocità angolare finale uguale a zero.

Viste le varie schematizzazioni semplificatorie che abbiamo scelto di usare, il valore della distanza finale di ben 7450 UA dovrebbe rispettare quanto meno l'ordine di grandezza, ma possiamo star certi che non verrà mai raggiunto. Infatti, a parte il fatto che il Sole dovrebbe subire effetti mareali ben più consistenti da parte dei pianeti maggiori, bisogna anche riconoscere che la marea solare è meno della metà di quella lunare; ma la Luna si allontana solo di qualche centimetro all'anno. Le stime attuali danno 4 cm all'anno (Michio Kaku, Mondi Paralleli, Collana LeScienze, Aprile 2007). La Terra, che subisce la frizione mareale della Luna, è ben più rigida del Sole pertanto si potrebbe ipotizzare un allontanamento per la Terra più rapido rispetto a meno della metà di quello che subisce il nostro satellite. Pur tuttavia occorrerebbero sempre migliaia di miliardi di anni, un tempo spropositamente più lungo dell'aspettativa di vita del nostro Sole. Possiamo dunque ragionevolmente concludere che per quanto teoricamente vero, all'atto pratico l'allontanamento è del tutto impercettibile.