La domanda posta fa riferimento alla definizione di serie numerica vista come limite della successione delle somme parziali; detto in termini rigorosi la scrittura
S=x1+x2+…+xh+… (1)
viene ad avere un significato ponendo
S:=limh→+∞(x1+x2+…+xh). (2)
Si tratta di una definizione e non di un teorema, per cui non necessita, a priori, di una spiegazione. Volendo assegnare un significato alla scrittura (1) che, dal punto di vista algebrico non ne ha alcuno, la strada più intuitiva e semplice è rappresentata dalla (2), ed è quella che meglio si adatta ai problemi concreti e della matematica applicata. Il passaggio al limite infatti è la sola tecnica (analisi non standard a parte) analitica che abbiamo a disposizione per vedere l’infinito dall’interno, che è il modo corretto per trattare l’infinito nei contesti dell’analisi matematica senza cadere in contraddizione: una quantità non può essere infinita in sé, ma diventare arbitrariamente grande. La definizione di serie scelta, inoltre, se applicata al caso di una successione (xh) che è nulla da un certo punto in poi, restituisce esattamente la nozione di somma comunemente intesa, per cui effettivamente si tratta di un’estensione a tutti gli effetti. Probabilmente, la cosa che più desta stupore è la presenza delle cosidette serie indeterminate, ovvero quelle per cui non esiste una buona definizione di S. È il caso, per esempio, della serie di termine generale xh:=(-1)h. Per tale serie il limite nella (2) non esiste e dunque non esiste, conformemente alla teoria classica, una buona nozione di somma in questo caso. Tutto dipende, in definitiva, da quanto uno pretende dalla teoria; nel caso della teoria classica delle serie, allo stato attuale essa funziona e risulta efficace nei contesti dove viene applicata.