Una persona in piedi (o seduta) con alle spalle a due metri un muro e di fronte il sole all’ultimo tramonto, puo’ avere la sua ombra sul suddetto muro piu’ alta di lui? Se si’ di quanto? Conta il periodo dell’anno e la posizione di latitudine della persona? Se il muro fosse invece piu’ vicino/lontano come cambierebbe l’ombra?

Se fossimo su una Terra piana ed infinta, l’altezza dell’uomo coinciderebbe
esattamente con quella della sua ombra. Poichè però la Terra è sferica
la situazione é quella della figura, e non dipende dalla latitudine o
dal giorno dell’anno: basta che il sole sia “al tramonto”, ossia i
suoi raggi provengano come indicato in figura (linea rossa):

La differenza di altezza tra l’uomo e la sua ombra è pari a $overline{BD}$,
che a sua volta, considerando il triangolo BAD risulta:


egin{displaymath}
overline{BD}= overline{AD} 	an Bhat{A}D.
end{displaymath}



Ma si può dimostrare facilmente che
$Bhat{A}D=alpha$ e che:


egin{displaymath}
cos alpha = frac{overline{CO}}{overline{CA}} = frac{R}{R+h}
end{displaymath}



dove R è il raggio della Terra ed h è l’altezza dell’uomo. Considerando
che l’altezza dell’uomo (2m) è molto minore del raggio della Terra (6370Km),
l’angolo $alpha$ è piccolo e si possono applicare alcune approssimazioni,
ottendo:


egin{displaymath}
overline{BD} = 2 frac{overline{AD} : h }{R}.
end{displaymath}



La precedente formula, per un uomo di 2m posto a 2m dal muro, dà una
differenza di altezza fra l’uomo e l’ombra di 1.3 millesimi di mm .
Aumentando la distanza del muro e l’altezza dell’uomo questa differenza
di altezza aumenta, ma resta sempre impercettibile: per un palo di 10m
posto a 10m dal muro è pari a solo
$frac{1}{30}mm$!

Inoltre in tutto il mio discorso ho considerato il Sole come un
punto. Considerando anche la sua dimensione, si ottiene che le
ombre non sono nette, ma hanno un bordo “sfumato”, che tipicamente
ha una larghezza del cm e quindi copre completamente l’effetto di cui
si è scritto in questa pagina.