In linea generale la bilancia segna quasi sempre 515 grammi, vediamo di capire il perché.
Partiamo dalla situazione descritta all’inizio della domanda: uccellino fermo nella gabbia. Che l’uccellino si trovi posato direttamente sul fondo, sia appoggiato ad un trespolo sospeso alla gabbia o si mantenga con le zampe alle sbarre laterali non ha importanza: affinché l’uccellino sia fermo è necessario che la gabbia eserciti su di esso una reazione vincolare diretta verso l’alto di modulo pari al peso dell’uccello. Per il terzo principio allora l’uccello agirà sulla gabbia con una forza uguale in modulo e direzione ma opposta in verso (quindi rivolta verso il basso). Tale forza si va a sommare al peso della gabbia e quindi la reazione vincolare della bilancia (che è poi la forza che viene direttamente misurata dalla bilancia e di conseguenza visualizzata sul suo monitor) per sostenere il tutto sarà pari alla somma del peso della gabbia e dell’uccellino. Quindi 515 grammi.
Consideriamo ora il caso dell’uccello che si sostiene sospeso a mezz’aria mediante il movimento delle sue ali. Per semplificare inizialmente il ragionamento supponiamo che l’uccellino si trovi non in una gabbia ma in una scatola chiusa ermeticamente in tutte le direzioni, per cui l’aria al suo interno può circolare ma non scambiarsi con l’aria esterna. L’uccello non tocca direttamente nessuna parte del contenitore. Di conseguenza questo potrebbe suggerire che sul contenitore non agisca alcuna forza aggiuntiva al suo peso e quindi in tale caso la bilancia dovrebbe segnare solo il peso del contenitore. Ma non è così. Se l’uccello resta sospeso in aria è perché c’è qualche forza che lo sostiene. Nel caso in esame questa forza è prodotta dalla conservazione della quantità di moto perché le ali in movimento spingono continuamente una certa quantità d’aria con una certa velocità verso il basso. Fissato un intervallo di tempo T, indicando con m la massa d’aria spostata nell’intervallo T, con v la velocità con cui tale massa d’aria è spinta verso il basso e con M la massa dell’uccello, esso rimarrà sospeso a mezz’aria se vale l’uguaglianza
mv=MgT
Tale forza si scarica progressivamente sugli strati d’aria più bassi fino ad arrivare al fondo della scatola. Per effetti di viscosità tale forza non si disperderà solo verticalmente sotto l’uccello ma si disperderà anche lateralmente per cui progressivamente (scendendo verso il basso) la velocità dell’aria sarà minore ma sarà maggiore la quantità d’aria coinvolta per cui il prodotto mv resta costante. Di conseguenza il contenitore subirà comunque l’effetto della forza che sostiene l’uccello, o meglio subirà l’effetto della reazione per il terzo principio a tale forza. La conseguenza è che, in maniera identica a come accade nel caso dell’uccello fermo, la bilancia segnerà comunque 515 grammi. Del resto se non fosse così verrebbe contraddetto il terzo principio della dinamica da cui si può dimostrare che la dinamica del centro di massa di un sistema dipende solo dalle forze esterne. Se il centro di massa è fermo (e lo è comunque se l’uccello è fermo, indipendentemente da se è fermo poggiato alla gabbia o fermo perché sospeso a mezz’aria) allora la somma delle forze esterne agenti sul sistema deve essere zero. Sul sistema agiscono, dall’esterno, solo tre forze: peso del contenitore, peso dell’uccello (stiamo trascurando il peso dell’aria contenuta per ovvi motivi), reazione vincolare della bilancia. Date le direzioni e i versi di queste forze deve quindi comunque risultare che reazione vincolare=peso gabbia+peso uccello.
Diverso sarebbe il discorso nel caso in cui l’uccello volasse cambiando quota. In tal caso il centro di massa non sarebbe fermo e quindi accadrebbe che la bilancia segnerebbe un peso inferiore a 515 grammi quando l’uccello scende di quota (al limite di segnare esattamente 500 grammi se l’uccello si lascia cadere senza usare le ali) o un peso superiore quando l’uccello sale di quota.
Passiamo ora al caso in cui l’uccello è fermo a mezz’aria con un contenitore non isolato dall’esterno (quindi la classica gabbia). In tal caso non si può affermare con certezza quanto detto prima perché gli scambi di aria che avvengono attraverso le sbarre permettono l’azione di altre forze oltre a quelle suddette. In particolare esiste la possibilità che la spinta delle ali verso il basso si scarichi anche all’esterno della gabbia, per cui non tutto il peso dell’uccello viene sostenuto dal fondo della gabbia e quindi la bilancia segnerebbe meno di 515 grammi. Tuttavia è realistico pensare che per una gabbia usuale l’altezza massima a cui può volare l’uccello non permetta una dispersione laterale dell’aria troppo elevata, per cui sostanzialmente si può ragionare come nel caso della scatola chiusa ermeticamente. Se invece l’altezza della gabbia è molto elevata rispetto alle dimensioni orizzontali (o se l’uccello sta volando molto vicino alle sbarre) allora è possibile che una parte consistente della spinta si scarichi all’esterno della gabbia per cui la bilancia non segnerà esattamente 515 grammi ma qualcosa in meno. In ogni caso la bilancia, tranne nel caso in cui l’uccello si lanci in caduta libera, segnerà sempre un peso maggiore a quello della sola gabbia.