Salve, vorrei porre la seguente domanda: è corretto “interpretare” o considerare la moltiplicazione come addizione reiterata? e la divisione, può essere considerata come sottrazione consecutiva fino a giungere a zero?(per esempio un rapporto dove la divisione risulta esatta e priva di resto).

Per rispondere in modo esauriente e corretto alla domanda posta bisogna fare qualche passo indietro e arrivare al punto in cui, ancora quasi a livello di teoria degli insiemi, si definisce il prodotto tra numeri naturali; denotiamo con N l’insieme dei numeri naturali.

La definizione di moltiplicazione viene data ricorsivamente, appoggiandosi alla somma, ed è esattamente come la domanda posta suggerisce, ovvero "addizione reiterata":

m∙0:=0 e  ∀ n ∈ N: m∙(n+1):=m∙n+m.

Ad esempio, applicando la definizione, si ha

5∙3=5∙2+5=5∙1+5+5=5∙0+5+5+5=0+5+5+5=5+5+5.

Ovviamente la nozione di prodotto tra numeri può essere estesa ai numeri interi, ai numeri razionali e quindi ai numeri reali (eventualmente anche ai numeri complessi); va da sé che l’interpretazione come somma reiterata resta valida quando almeno uno dei due fattori è un numero naturale. Si dimostra, infatti, che per ogni x,y,z ∈ R, essendo R l’insieme dei numeri reali, vale la proprietà distributiva data da

x∙(y+z)=x∙y+x∙z

che consente di dedurre la stessa reinterpretazione precedente con la scelta y ∈ N e z=1.

Per quanto riguarda la divisione, la faccenda è leggermente più complicata rispetto al caso precedente. Infatti la divisione tra naturali viene definita sostanzialmente mediante le sue proprietà, introducendo il concetto di frazione, e quindi di numero razionale (positivo in questo caso). Si dimostra quindi il seguente Teorema (ci limitiamo ai naturali, ma esso vale anche per gli interi):

Teorema (del quoziente e del resto): Siano m,n numeri naturali con n ≠ 0. Allora esistono due unici numeri naturali q ed r (rispettivamente quoziente e resto della divisione tra m e n) tali per cui si ha m=nq+r e r<n.

In particolare il teorema del quoziente e del resto assume la forma m-nq=r per un certo q ∈ N ed un certo r ∈ N, con r<n. Ecco spiegata l’interpretazione suggerita nella domanda posta: il quoziente esatto q può essere visto come quel numero naturale tale per cui l’iterazione della sottrazione m-n-n-…-n, q volte, restituisce un numero naturale minore di n. Ad esempio per effettuare la divisione 14:3 consideriamo prima di tutto 14-3=11; dal momento che 11>3, possiamo continuare, ed effettuare 14-3-3=8, 14-3-3-3=5, 14-3-3-3-3=2, e qui ci fermiamo poiché 2<3. A norma del teorema del quoziente e del resto si ha q=4, r=2.