È possibile calcolare l’esatta altezza di un oggetto, per esempio un uccello nel cielo che percorre un volo rettilineo verso me, utilizzando riferimenti fissi come un campanile, una collina o altro sapendo le esatte altezze e le esatte distanze di quest’ultimi rispetto a me? Si può fare questa ricerca dell’altezza se a osservare l’oggetto è una videocamera?

In linea di massima la risposta a questa domanda è no, a meno di casi molto particolari. Cerchiamo di capire perché.

Dato un oggetto nello spazio, è possibile misurare con facilità la distanza angolare α dal suolo; a questo punto, la sua quota dal terreno h si può calcolare con la formula

h = d x tan(α) (1)

solo a patto di conoscerne anche la distanza.

E’ evidente che la distanza può essere nota solo se esso si trova esattamente sopra un particolare del paesaggio di cui conosciamo altrettanto la distanza, per esempio posato sopra un albero o un campanile. Questa stima inoltre, a meno che l’uccello non lo si veda posato, può trarre in inganno, in quanto non è possibile dire a priori se una sovrapposizione sia solo prospettica o reale.

Supporre che l’uccello sia in moto rettilineo verso l’osservatore non facilita le cose, anzi se possibile le complica, perché non possiamo in alcun modo vedere la sua componente tangenziale di velocità, e apparirebbe come un punto fisso in cielo.

Si noti che, anche supponendo di avere un moto invece perfettamente tangenziale al punto di vista dell’osservatore, questa informazione non sarebbe comunque utile da sola, a meno di non conoscere anche la velocità assoluta. Nel caso in cui la velocità v fosse nota, invece, e si fosse certi che non c’è componente radiale all’osservatore, si potrebbe stimare la distanza dell’uccello in linea d’aria D.
Si avrebbe infatti che, detta ω la velocità angolare e v quella lineare dell’uccello, almeno per piccoli spostamenti angolari:

D=v x tan(ω) (2)

dopo di che, la quota h si ricaverebbe come

h = D x sen(α) (3)

Per finire, usare una telecamera invece che l’occhio non cambia la natura del problema.
L’unico vantaggio della telecamera è che, conoscendo i parametri ottici del sistema, è possibile eseguire la ripresa senza preoccuparsi di compiere le misurazioni “in diretta”, e svolgere queste ultime successivamente, dopo aver stabilito una corrispondenza tra la dimensione di un pixel e un certo angolo in cielo.
Detta infatti L la dimensione lineare del lato di un pixel sul piano focale, ed F la lunghezza focale usata dalla telecamera durante la ripresa, si sa che l’angolo γ sotteso da L è

γ = arctan(L/F) (4)

Il problema posto dal lettore ha una soluzione univoca invece in uno dei seguenti casi:

Il lettore possiede un telemetro, con il quale può misurare la distanza in linea d’aria D dell’uccello, oltre che un goniometro per misurarne l’alzo. In questo caso la soluzione del problema è quella già presentata nella formula (3).
Ci sono due osservatori, perfettamente sincronizzati, che riprendono il moto dell’uccello attraverso due telecamere opportunamente distanti, di cui si conosce esattamente la posizione al suolo ed in grado di trovare corrispondenze con gli elementi del paesaggio. In questo modo è possibile, anche se non semplicissimo, correlare la traiettoria dell’oggetto dai due punti di vista, e ricostruirne il moto nello spazio tridimensionale.
La versione "semplificata" dal punto 2, detta del doppio goniometro: se l’oggetto non è in movinemto ma è statico, due osservatori abbastanza distanti possono calcolare l’angolo di alzo dalla loro visuale e l’angolo orizzontale tra l’oggetto e il secondo osservatore, e da questi angoli ricavare l’altezza.