Ad una prima lettura, specialmente per coloro che non sono particolarmente ferrati in teoria degli insiemi, la domanda posta sembrerebbe essere senza senso. In realtà, quanto chiesto ha perfettamente senso, e la congettura proposta è corretta: non esiste una funzione che appartiene al proprio dominio, e questo può essere dimostrato all’interno della teoria assiomatica degli insiemi di Zermelo-Fraenkel. In realtà, come vedremo, si dimostra di più, ovvero si dimostra che non può esistere nemmeno una relazione che appartiene al proprio dominio, quindi in particolare una funzione. Allo scopo di dare una trattazione il più possibile autosufficiente riprendiamo alcune definizioni che ci torneranno utili.
Prodotto cartesiano di insiemi
Siano dati x e y; la coppia ordinata (x,y) è definita ponendo (x,y):={{x},{x,y}}. Si verifica facilmente che (x1,y1)=(x2,y2) se e solo se x1=x2 e y1=y2, da cui il termine "coppia ordinata". Dati due insiemi X e Y, l’insieme di tutte le coppie ordinate del tipo (x,y) con x ∈ X e y ∈ Y esiste, e viene denotato con X × Y, e viene detto prodotto cartesiano tra X e Y.
Relazioni e funzioni
Una relazione R è un insieme di coppie ordinate. Se R è una relazione allora esiste un insieme detto dominio di R e denotaton con dom(R), tale che x ∈ dom(R) se e solo se esiste y tale per cui (x,y) ∈ R; inoltre esiste un insieme, detto immagine di R e denotato con im(R), tale per cui y ∈ im(R) se e solo se esiste x con (x,y) ∈ R.
Una relazione f si dice funzione (o applicazione) se per ogni x ∈ dom(f) esiste un unico y ∈ im(f) tale che (x,y) ∈ f; essendo y univocamente determinato da x, spesso y viene deontato con f(x). Sostanzialmente in teoria degli insiemi una funzione è identificata con il suo grafico, e questo è conveniente sotto diversi punti di vista, primo fra tutti il fatto che la nozione di funzione possa essere data, nella sua piena generalità, all’interno della teoria degli insiemi.
Assioma di regolarità
Analizziamo, prima di completare la risposta alla domanda posta, un assioma della teoria degli insiemi di cui ci serviremo; si tratta dell’assioma che solitamente viene presentato come ultimo nella teoria assiomatica di Zermelo-Fraenkel, ovvero l’assioma di regolarità:
Per ogni insieme non vuoto X esiste x ∈ X tale che x ∩ X = ∅.
In parole povere l’assioma di regolarità afferma che un insieme non vuoto non può contenere elementi troppo "irregolari", ovvero deve contenere almeno qualche elemento "ordinario", in un certo senso (da cui il nome assioma di "regolarità"). L’assioma di regolarità interviene in questioni delicate di teoria avanzata degli insiemi; tuttavia esso ha questa bella applicazione elementare, ovvero da esso dedurremo che non può esistere una relazione che appartiene al proprio dominio. Più precisamente ci serviremo della seguente Proposizione che discende direttamente dall’assioma di regolarità.
Proposizione 1: Siano x,y,z con x ∈ y e y ∈ z; allora non si può avere z ∈ x.
Dimostrazione. Sia X={x,y,z}. Allora x ∈ y dice che x ∈ y ∩ X, mentre y ∈ z dice che y ∈ z ∩ X. Supponiamo che sia z ∈ x; allora z ∈ x ∩ X, ma ciò contraddice l’assioma di regolarità, poiché deve esistere u ∈ X tale che u ∩ X = ∅. ☐
Non esiste una relazione R con R ∈ dom(R)
Sia R una relazione, e supponiamo R ∈ dom(R). Anzitutto esiste y ∈ im(R) tale che (R,y) ∈ R. Quindi si ha, per definizione di coppia ordinata,
R ∈ {R} ∈ {{R},{R,y}} = (R,y) ∈ R. (∗)
Ponendo x=R, y={R} e z=(R,y), si vede che la (∗) contraddice la Proposizione 1.
Osservazione. Osserviamo, per concludere, che indebolendo ulteriormente la questione si ottiene una risposta affermatva. Più precisamente esistono X e Y insiemi ed esiste Z ⊆ X × Y tale che Z ∈ X . L’esempio è semplice: sia f una funzione; allora poniamo X = dom(f) ∪ {f} e Y = im(f). Allora si ha
f ⊆ X × Y e f ∈ X.
Ringrazio il prof. Marco Degiovanni (Università Cattolica del Sacro Cuore di Brescia) per la preziosa consulenza.