Il Teorema di GAUSS stabilisce che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa dipende solo dalla quantità di carica contenuta nella superficie e non dalla sua forma, dalle sue dimensioni, o dalle caratteristiche di distribuzione della carica nello spazio. Questo teorema in realtà non vale solo per il campo elettrico ma vale per qualunque campo di forze che, nella situazione di singola sorgente puntiforme, ha direzione radiale e modulo inversamente proporzionale al quadrato della distanza dalla sorgente (come, per esempio, il campo gravitazionale).
Il perchè di questo dipende strettamente dalle proprietà geometriche dello spazio a tre dimensioni. È intuitivo, e comunque facile da dimostrare, che l’area totale di una qualunque figura solida, in particolare di una sfera, è direttamente proporzionale al quadrato delle sue dimensioni. Per esempio l’area totale di un cubo è 6L2, con L lato del cubo, per una sfera l’area è 4πR2, con R raggio della sfera. Per una sfera tale proporzionalità vale anche per una porzione non completa di sfera. Questo permette di affermare che, se prendiamo un pezzo di sfera e calcoliamo il rapporto tra la sua area e il quadrato del raggio (cioè della distanza dal centro), otteniamo un valore che è indipendente dalle dimensioni della sfera di appartenenza. In analogia con la definizione di angolo nella goniometria piana abbiamo ottenuto quello che viene chiamato un angolo solido.
Ogni superficie chiusa, ai fini del calcolo del flusso, può essere decomposta in un insieme di pezzetti di superficie che siano o paralleli o perpendicolari al campo. In pratica sostituiamo ogni pezzettino obliquo con due pezzettini, uno parallelo al campo e uno perpendicolare, formando una specie di scalino. Se la scomposizione è sufficientemente raffinata non ci sono differenze apprezzabili rispetto al calcolo esatto. I pezzettini paralleli al campo danno flusso nullo mentre quelli perpendicolari possono essere trattati come pezzi di una superficie sferica che abbia il centro nel punto in cui si trova la sorgente del campo. Per cui quando calcoliamo il flusso di un campo che dipende dall’inverso del quadrato della distanza dalla sorgente in realtà calcoliamo tanti rapporti simili a quelli che definiscono un angolo solido.
Ogni pezzetto di sfera dà come flusso il rapporto tra la sua area e il quadrato della distanza dalla sorgente (cioè dal centro della sfera di appartenenza), quindi un numero indipendente dalla distanza, moltiplicato per altre grandezze costanti (tra cui il valore della carica della sorgente). Quando vado a sommare tutti questi flussi, ciascuno indipendente dalla sua distanza dalla sorgente, per avere quello relativo all’intera superficie chiusa ottengo quindi un numero che non dipende da distanze particolari e quindi non dipende dalla particolare forma o meno della superficie. L’unico dettaglio che influenza il calcolo è se la carica è interna alla superficie (in tal caso tutti i flussi parziali hanno lo stesso segno e danno luogo ad un flusso totale non nullo) oppure se è esterna (in tal caso ci saranno flussi parziali negativi e positivi e la loro somma sarà esattamente uguale a zero). Il principio di sovrapposizione, valido per ogni tipo di forza e quindi per ogni campo di forza, garantisce che questo risultato vale anche per sorgenti non puntiformi, le quali possono essere immaginate come composte da un numero molto grande di sorgenti puntiformi.
A questo punto dovrebbe essere evidente che questo risultato dipende esclusivamente dal fatto che il campo della sorgente puntiforme abbia modulo inversamente proporzionale al quadrato della distanza. Se il campo elettrico fosse inversamente proporzionale alla sola distanza il flusso attraverso un pezzo di sfera sarebbe direttamente proporzionale alla sua distanza e quindi il flusso totale aumenterebbe ingrandendo la superficie, se fosse inversamente proporzionale al cubo della distanza il flusso attraverso un pezzo di sfera sarebbe inversamente proporzionale alla distanza e quindi il flusso totale diminuirebbe ingrandendo la superficie.