La domanda in oggetto si riferisce ad un problema classico molto comune: l’intuito suggerisce che conviene puntare su testa se sono uscite 200 teste e 800 croci dopo 1000 lanci, ma l’intuito sbaglia, se il gioco almeno non è truccato. Il punto cruciale della questione è che il caso non ha memoria, e la probabilità (classica) che al 1001-esimo lancio esca testa è ancora 1/2, come è la probabilità (classica) che esca croce.
Il fatto che la probabilità tende a uniformarsi, come sta scritto nella domanda, va precisato. Presumo che quello a cui l’autore fa riferimento è il fatto che il numero di uscite di testa e croce tendono a diventare uguali con l’aumentare dei lanci. Questo è "vero" in generale, ed è espresso dalla cosiddetta legge dei grandi numeri la quale (detta in forma molto semplificata) dice proprio che la probabilità dedotta su base statistica tende a diventare la probabilità classica. Il punto centrale della questione sta nella parola tende: infatti la legge dei grandi numeri parla proprio di limite. Trattandosi di limite si capisce subito dove sta l’inganno: in generale se una certa funzione f ha limite L per x che tende ad un certo x0 , non è possibile sapere con certezza quanto vicino a x0 si deve essere affinché f sia vicina a L a meno di un errore fissato. Tradotto nei termini della domanda ciò significa, come è naturale aspettarsi, che non è possibile sapere quante monete lanciare affinché il numero di teste che usciranno da quel lancio rende la probabilità statistica vicina bene quanto si vuole a 1/2.
Ci sono casi in cui la probabilità effettivamente cambia? Sì, ad esempio le estrazioni di numeri senza reimmissione nell’urna. Supponiamo di avere un’urna contenente tre palline numerate da 1 a 3. La probabilità che esca il 2 vale 1/3. Come cambia questa probabilità se un attimo fa è uscito il 3 (e, secondo le regole, la pallina non è stata rimessa dentro?) Ovviamente la probabilità cambia e diventa 1/2. Cambia perchè è cambiato il numero di palline dentro l’urna. Ma se proviamo ad applicare la stessa regola alla moneta, è evidente che se sono già uscite 800 teste, la probabilità non può cambiare, perchè la moneta è sempre la stessa e non c’è nessuna ragione fisica per cui croce dovrebbe diventare più probabile, a meno della moneta truccata. Paradossalmente va osservato che se testa è uscita l’80% delle volte, uno potrebbe anche sospettare che la moneta sia asimmetrica e che testa esca di più per via di uno
"sbilancio" di peso. Quindi, semmai, sarebbe più ragionevole, nel caso si sospetti di gioco truccato, pensare che testa continui ad uscire più frequentemente, piuttosto che il contrario.
Riassumendo, due quindi sono i punti da tener fermi:
1) Il caso non ha memoria (è un assioma, non un teorema: ma un modello in cui il caso ha memoria sarebbe affidabile?)
2) Attenzione a non fraintendere la legge dei grandi numeri, ovvero sapere con precisione i suoi limiti.
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Ringrazio Davide Del Vento per aver dato un contribuito alla risposta data.
Si veda anche la risposta di Gino Favero: www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php/risposta.php?num=722