Una successione reale è una generica funzione x : N → R. Il numero reale x(n) viene anche denotato con xn per pura convenienza. Una successione reale x si dice convergente se esiste ed è finito
L=limn → +∞ xn
ovvero se esiste (e si dimostra anche essere unico) L ∈ R tale per cui valga:
∀ ε>0 ∃ m ∈ N : ∀n>m si ha |xn-L|<ε. (1)
Esempio. Sia x la successione data da xn=1/n; allora si verifica facilmente che limn → +∞xn=0.
Osservazione 1. Sia x una successione reale convergente ad L>0. Allora esiste m ∈ N tale che per ogni n>m si ha xn>0; analogamente se x è una successione reale convergente ad L<0 allora esiste m ∈ N tale che per ogni n>m si ha xn<0. Supponiamo ad esempio che la successione x converga ad L>0; allora se scegliamo ε<L/2 nella (1) si ha che esiste m ∈ N tale che per ogni n>m si ha |xn-L|<L/2; in particolare per ogni n>m si ha xn>L-L/2=L/2>0. La successione x potrebbe anche avere termini di segno negativo prima di stabilizzarsi strettamente positiva: ad esempio la successione reala x data da xn=-1 per ogni n≤10 e da xn=1 per ogni n>10 converge a 1 ma non è interamente a termini positivi.
Una successione reale x si dice invece limitata se esiste C ∈ R tale per cui si ha |xn| ≤ C per ogni n ∈ N.
Osservazione 2. Una classe importante di successioni convergenti è costituita dalle successioni monotone e limitate; se x è una successione reale non-decrescente e limitata allora si verifica facilmente che x converge a sup{xn : n ∈ N} mentre se y è una successione reale non-crescente e limitata allora si verifica facilmente che y converge a inf{yn : n ∈ N}.
Un primo legame tra convergenza e limitatezza è fornito dal seguente risultato elementare.
Proposizione. Sia x una successione reale convergente. Allora x è limitata.
Dimostrazione. Supponiamo che la successione x converga a L. Scriviamo la condizione (1) con la scelta ε=1. Esiste quindi m ∈ N tale che ∀n>m si ha |xn-L|<1, ovvero per ogni n>m si ha L-1<xn<L+1. Sia dunque C=max{x1,…,xm,|L-1|,|L+1|}. Si ha allora |xn|≤C per ogni n ∈ N.
Il viceversa della Proposizione precedente in generale è falso; ad esempio la successione reale x definita da xn=(-1)n è una successione limitata in quanto |xn|≤1 per ogni n ∈ N, ma non è una successione convergente, dal momento che, intuitivamente, xn oscilla tra -1 ed 1 e non tende a stabilizzarsi verso un certo valore reale L. Vale però una sorta di viceversa della Proposizione dimostrata, ed è il risultato più importante della teoria delle successioni reali. Per una corretta enunciazione e dimostrazione va però detto cosa si intende per sottosuccessione.
Sia x una successione reale. Diciamo che y : N → R è una sottosuccessione (o un’estratta) di x se esiste una funzione ν : N → N strettamente crescente tale per cui si ha yn=xν(n) per ogni n ∈ N. Intuitivamente una sottosuccessione di x è una successione che "seleziona" degli elementi di x, infiniti ed ottenuti per valori tutti distinti di n.
Osservazione 3. Se una successione reale x è convergente a L allora ogni sua sottosuccessione è convergente allo stesso limite L; tale fatto è una banale applicazione del Teorema di composizione per i limiti. Osserviamo che questo permette di dimostrare rigorosamente che la successione xn=(-1)n non converge: infatti se per assurdo xn convergesse verso L allora ogni sua estratta avrebbe lo stesso limite L; ma le due estratte corrispondenti alle scelte ν(n)=2n e ν(n)=2n+1 convergono, rispettivamente, a 1 e a -1. In forza di quanto osservato la successione di termine generale (-1)n non può quindi convergere.
Veniamo quindi al risultato fondamentale.
Teorema (Bolzano-Weierstrass). Sia x una successione reale limitata. Allora x ammette almeno una sottosuccessione convergente.
Dimostrazione. La dimostrazione del Teorema di Bolzano-Weierstrass non è semplice, ma costruttiva. Denotiamo con I l’insieme dei termini xn, ovvero I={xn : n ∈ N}. Distinguiamo due casi, a seconda che I sia un insieme finito o no.
1) Caso I insieme finito. In tal caso dal momento che N non è un insieme finito devono esistere L ∈ R tale per cui si ha xn=L per infiniti indici n. Ne segue che la sottosuccessione che seleziona esattamente quegli indici converge a L.
2) Caso I insieme infinito. Dal momento che la successione x è limitata, esiste un intervallo [α,β] tale per cui si ha I ⊆ [α,β]. Consideriamo il punto medio mα,βtra α e β; allora uno tra i due insiemi I ∩ [α,mα,β] e I ∩ [mα,β,β] deve essere ancora infinito, altrimenti I sarebbe finito e si ricadrebbe nel caso 1). Scegliamo quindi, tra [α,mα,β] e [mα,β,β] quello che contiene ancora infiniti elementi di I, e denotiamo esso con I1. Dividendo ancora in due intervalli uguali I1 per le stesse ragioni di prima esiste un intervallo I2 ⊆ I1 che contiene ancora infiniti elementi di I. Procedendo per ricorsione si trova una successione di intervalli In con I1 ⊇ I2 ⊇ I3 ⊇…⊇ In ⊇.. della forma In=[αn,βn], con
βn-αn ≤ (β-α)/2n (2)
ognuno dei quali contiene infiniti elementi di I. Ma allora le due successioni reali di termine generale αn e βn sono monotone e limitate: si ha che la successione di termine generale αn è non-decrescente mentre la successione di termine generale βn è non-crescente. In forza della (2) la due successioni α e β devono convergere (Osservazione 2) allo stesso limite L ∈ R. Basta ora selezionare in modo opportuno la sottosuccessione estratta da x che converge ad L. Sia xn1 il primo termine della successione x che cade in I1; sia xn2 il primo termine della successione x che cade in I2 e con n2>n1. Così facendo per ricorsione si trova un’estratta xnk tale per cui si ha |xnk-L|≤βnk-αnk≤(β-α)/2nk. Ne segue che la sottosuccessione xnk converge a L per k → +∞, e ciò conclude la dimostrazione.