Introduzione
In una qualunque esplosione si ha un rilascio di energia in una limitata regione di spazio, portando ad un repentino aumento della pressione e della temperatura. L’energia si trasferisce quindi sotto forma di energia meccanica ed energia termica. Nel caso di una esplosione nucleare si aggiunge l’energia rilasciata per la ionizzazione e per il decadimento radioattivo dai prodotti della fissione e del materiale contaminato circostante. Circa il 40-50% è trasferita per energia meccanica, il 30-40% per energia termica. Va anche detto che i valori di pressione e temperatura in una esplosione nucleare sono molto più elevati che in una esplosione convenzionale, favorendo il rilascio di energia sotto forma di energia termica.
L’energia meccanica, ovvero l’energia dei materiali espulsi e dell’onda d’urto prodotta, viene trasportata all’ambiente circostante, l’aria nel caso del Trinity test a cui Fermi ha assistito.
Si può vedere l’onda d’urto prodotta in alcune fotografie scattate al momento dell’esplosione, alle 5.29 ora locale del 16 luglio 1945, pochi millisecondi dopo la denotazione del materiale fissile (ovvero l’implosione del materiale fissile in modo da raggiungere la massa critica per la reazione a catena).
Enrico Fermi si trovava al primo campo base, a circa 16 km dal punto "ground zero", dove si trovava la bomba.
Ecco il suo racconto: "circa 40 secondi dopo l’esplosione lo spostamento d’aria mi raggiunse. Cercai di stimarne la forza lasciando cadere da circa sei piedi di altezza dei pezzetti di carta prima, durante e dopo il passaggio dell’onda dell’esplosione. Poiché non c’era vento, potei osservare con precisione e, di fatto, misurare lo spostamento dei pezzi di carta che cadevano durante il passaggio dell’onda. Lo spostamento fu di due metri e mezzo, che a quell’epoca stimai corrispondente all’esplosione prodotta da circa diecimila tonnellate di tritolo"
Per stimare l’energia dell’esplosione Enrico Fermi aveva preparato delle tabelle numeriche a cui ad ogni spostamento corrispondeva una energia. La stima successiva, fatta con gli strumenti di misura, stimo’ una potenza di 20 kiloton. Quindi Fermi ci aveva azzeccato.
Come avesse calcolato le tabelle non è noto.
Si può cercare di calcolare l’energia emessa con i dati a disposizione.
Andando poi nel dettaglio avanzerò un’ipotesi su come Fermi avrebbe potuto calcolarla.
Un semplice calcolo
L’onda d’urto dell’esplosione determina uno spostamento dell’aria. Questa si propaga in maniera sferica (o semisferica, a causa del suolo) fino al punto di osservazione.
L’energia dell’esplosione è trasmessa del guscio semisferico di aria; misurando la sua velocità si stima l’energia. Ecco i dettagli.
La massa di aria in moto nella semisfera è
=1.2 kg/m3, la densità dell’aria, da cui si ottiene M=~1013 kg
La stima della velocità è stata fatta da Fermi con i pezzettini di carta: questi sono stati lasciati cadere da un’altezza di h=2 m (6 piedi), ovvero hanno impiegato un tempo di circa
(g: accelerazione di gravità) pari a 0.6 s.
In realtà il tempo sarà stato superiore, a causa dell’attrito dell’aria. Come stima realistica consideriamo t~1 s.
In questo tempo i pezzetti di carta hanno percorso, trasportati dal vento dell’esplosione, 2.5 m; la velocità stimata risulta così essere:
V=2.5 m / 1 s = 2.5 m/s.
Quindi l’energia cinetica risultante, pari all’energia meccanica rilasciata nell’esplosione è:
E = ½ · M · V2 = 1/2 · 1013 kg · (2.5 m/s)2 = 3*1013 Joules
equivalenti a 7 kton. (1 kton = 4.25 · 1012 J)
Il calcolo di Fermi?
Il metodo descritto è stato usato anche da Fermi?
Il calcolo svolto consiste in un semplice esercizio di meccanica, con semplici conti.
Ritengo che Fermi, noto per la velocità nel fare i conti anche a mente, non avrebbe avuto bisogno di tabelle per fare il calcolo, come invece risulta da alcuni resoconti.
Forse le tabelle gli servivano per delle correzioni?
Per esempio nel calcolo precedente si è trascurato il fatto che la velocità dell’aria è una funzione della distanza dal centro dell’esplosione. Si è anche approssimato il tempo di caduta dovuto allàattrito dell’aria.
Oppure le tabelle erano necessarie perché il calcolo di base era più complesso di quello qui svolto?
Fermi probabilmente conosceva un rapporto scritto da Geoffrey Taylor nel 1941 dove si discutevano teoricamente e si calcolavano gli effetti meccanici e termici prodotti dall’energia rilasciata da una bomba atomica.
Questo articolo è rimasto segreto fino alla pubblicazione nei Proceeding of the Royal Society of London, nel 1949. Insieme a questo rapporto G. Taylor ha pubblicato un secondo articolo dove ha verificato le previsioni con i dati disponibili dopo l’esplosione del Trinity test.
Nell’articolo del ’41 si stima l’energia rilasciata come energia meccanica, trasmessa tramite l’espansione dell’onda d’urto, e come energia termica.
Le espressioni di partenza sono:
(espressione classica dell’energia cinetica)
(espressione classica del lavoro svolto da un gas perfetto)
Queste espressioni sono state svolte e risolte numericamente da Taylor.
Le formule risolutive che si ottengono, funzione del tempo e del raggio di espansione dell’onda d’urto, sono state verificate con le foto realizzate durante il Trinity test.
In particolare si ottiene che l’energia totale rilasciata in forma meccanica e termica nell’esplosione è data dalla semplice relazione:
1.64 è il coefficiente relativo all’energia meccanica e 4.2 all’energia termica.
I valori sono però determinati da stime numeriche e da assunzioni sul rapporto tra i calori specifici dell’aria, quindi suscettibili di variazioni.
La costante A è legata alla soluzione dell’equazione del moto:
dR/dt è la velocità di spostamento dell’onda d’urto e R è la distanza dal centro dell’esplosione.
Fermi quindi poteva stimare la velocità di spostamento dell’onda (appunto circa 2.5 m/s) a R=16 km, ottenendo per A un valore pari a A = v / R3/2=2.5 m/s · (1.6·106 m)3/2 = 4·106 m5/2s-1.
Con questo valore di A si ottiene per l’energia il valore:
E= 5.84 · 1.25 kg/m3· (4·106)2 m5/s2 = 1·1014 J =~ 20 kton
compatibile con il risultato precedente (dove si e’ considerata la sola energia meccanica) ma anche con la stima di Fermi (10 kton).
In conclusione si può dire che Fermi probabilmente utilizzò i calcoli di Taylor, se già non li aveva svolti per conto proprio, e costruì delle tabelle per semplificare
il calcolo dell’energia e forse per tenere conto dei diversi parametri che potevano influire sulla misura (per esempio il rapporto dei calori specifici, o l’effetto dell’attrito dell’aria nella caduta dei pezzetti di carta).
Va comunque detto che il calcolo dell’energia emessa da un’esplosione nucleare non differisce in maniera significativa dal conto su qualunque altra esplosione convenzionale (energia meccanica e termica), se non nell’ulteriore termine di emissione dovuto alla radioattività (qui non considerato) e nei valori di pressione, temperatura e densità, in particolare nelle vicinanze dell’esplosione stessa.
Riferimenti
Parzialmente tecnici (in inglese)
http://www.search.com/reference/Effects_of_nuclear_explosions
http://www.cddc.vt.edu/host/atomic/nukeffct/enw77a.html
Tecnici:
G. I. Taylor, Proc. Roy. Soc. London A201, 175 (1950)
G. I. Taylor, Proc. Roy. Soc. London A201, 159 (1950)
Review of Nuclear Weapons Effects H L Brode Annual Review of Nuclear Science, Vol. 18: 153-202 (December 1968)