Il teorema di Helmholtz è un classico teorema di decomposizione dei campi vettoriali in una parte irrotazionale (a rotore nullo) ed una solenoidale (a divergenza nulla).
Più precisamente nel caso classico e regolare la decomposizione di Helmholtz può essere così enunciata:
Teorema: Assegnato un campo vettoriale u regolare su tutto lo spazio R3 tale per cui la divergenza e il rotore siano infinitesimi all’infinito, esso si decompone in modo unico nella somma di due componenti, l’una irrotazionale, che è il gradiente di un campo scalare Φ, e l’altra solenoidale, che è il rotore di un campo vettoriale A. In simboli si ha
Esistono anche delle formule esplicite che forniscono i campi Φ ed A in termini del campo u, ma esulano dalla richiesta dalla domanda ed escono dal significato matematico del teorema di Helmholtz.
La decomposizione di Helmholtz può essere generalizzata al caso di campi meno regolari, come mostrato, ad esempio, in [Amrouche-Bernardi-Dauge-Girault, Vector Potentials in Three-dimensional Non-smooth Domains, Math. Meth. Appl. Sci., 21, 823-864 (1998)]. In tale lavoro si trova un approfondito studio di condizioni deboli per la validità di note formule di analisi vettoriale. Sia Ω un sottonsieme misurabile di R3; ricordiamo che L2(Ω) denota lo spazio delle funzioni a valori reali di quadrato sommabile in Ω, (L2(Ω))3 denota lo spazio dei campi vettoriali a quadrato sommabile in Ω, e H1(Ω) denota lo spazio delle funzioni in L2(Ω) che ammettono derivata debole che sta anch’essa in L2(Ω). Sia
Y(Ω)={v ∈ (L2(Ω))3 : rot v ∈ (L2(Ω))3 e div v ∈ L2(Ω)}.
Se Ω è semplicemente connesso e ha bordo localmente lipschitz allora ogni campo vettoriale u ∈ (L2(Ω))3 si decompone in
u = ∇ Φ + rot A
dove Φ ∈ H1(Ω) e A ∈ Y(Ω). Tale decomposizione vale quindi per campi che non sono molto regolari; la classe (L2(Ω))3 richiede una regolarità molto debole, e può contenere campi che hanno parecchie singolarità.