Su molti testi ho trovato il concetto di baricentro come centro dei vettori paralleli con modulo proporzionale alla massa. Vorrei capire meglio, magari in modo intuitivo, questo concetto di centro di vettori paralleli e poi volevo capire la differenza fra il centro di massa e baricentro.

Il centro di un sistema di vettori paralleli viene definito in modo abbastanza articolato ricorrendo al momento del vettore risultante.

Sia infatti assegnato il sistema di vettori paralleli v_i applicati nei punti A_i. Allora, rispetto ad un fissato punto O è possibile considerare i momenti M_i=OA_i x v_i, dove x indica il prodotto vettoriale tra vettori. Dal momento che i vettori dati sono tutti paralleli il vettore risultante R ha modulo pari alla somma dei moduli dei vettori v_i. Il momento del vettore R rispetto al polo O è dato da M=OC x R, dove C, per definizione, è il centro del sistema di vettori paralleli dato.

Si può dimostrare che la costruzione del punto C non dipende dalla scelta del polo O utilizzato per il calcolo dei momenti, dunque il vettore risultante R viene, per definizione, applicato in C.

Solitamente si parla invece di centro di massa, quando si ha un sistema di masse, discreto o continuo, anzichè un sistema di vettori paralleli. Più precisamente dato nel piano il sistema discreto di N punti materiali P_i = (x_i,y_i) di masse m_i il centro di massa di tale sistema è il punto C che ha coordinate

x_C = (m₁x₁+…+m_Nx_N) / (m₁+…+m_N)

y_C = (m₁y₁+…+m_Ny_N) / (m₁+…+m_N).

Il centro di massa di un sistema di punti coincide con quel punto C nel quale possiamo pensare l’intera massa del sistema ivi concentrata. Tali formule si generalizzano nel modo ovvio a sistemi discreti di punti nello spazio. Il passaggio dal discreto al continuo si fa per integrazione, ma esula dalla richiesta.

Nel caso in cui si consideri il sistema delle forze peso dei punti P_i, quindi un sistema di vettori paralleli, allora centro del sistema e centro di massa coincidono, e coincidono, per definizione, con il baricentro G del sistema nel caso in cui l’accelerazione di gravità g abbia dimensioni tali da non variare significativamente entro lo spazio occupato dal sistema. In caso contrario le coordinate del baricentro diventano

x_G = (m₁x₁g₁+…+m_Nx_Ng_N) / (m₁g₁+…+m_Ng_N)

y_G = (m₁y₁g₁+…+m_Ny_Ng_N) / (m₁g₁+…+m_Ng_N)

dove g_i è il valore che g assume nel punto P_i.

Osserviamo infine che, per costruzione, il peso risultante del sistema discreto di forze peso a g costante, non ha momento rispetto al baricentro. Il baricentro viene dunque anche detto punto dell’equilibrio; se supponiamo di appendere un quadro puntando un chiodo nel suo baricentro il quadrò resterà sempre immobile in qualunque posizione esso venga lasciato, proprio in forza del fatto che la forza peso totale non produce momento, e quindi rotazione, rispetto al baricentro stesso.