Il concetto di correlazione è uno dei più profondi nella statistica. Può essere definito per coppie di variabili aleatorie (1) X1, X2
dove p(x1,x2) è la funzione densità di probabilità congiunta, e rappresenta il legame tra i valori assunti in media da una variabile e i valori dell’altra. Riporto i diagrammi di scattering di sei coppie di variabili aleatorie presi dal libro di Alessandro Falaschi, disponibile in rete con licenza Creative Commons al link http://infocom.uniroma1.it/alef/libro
Nel diagramma in alto a sinistra i valori di x2 sono perfettamente legati a quelli di x1, perciò si ha correlazione unitaria, mentre in quello in alto a destra, fissato un qualunque valore di x1 l’altra variabile può assumere valori in un intervallo con media nulla. Particolarmente interessante è il caso delle due variabili del diagramma in basso a destra: qui, fissato un valore ad esempio di x1, l’altra variabile può assumere due valori, opposti, la cui media è di nuovo zero; questo è un esempio in cui si ha correlazione nulla pur con due variabili dipendenti (2) l’una dall’altra, si ha infatti x12+ x22 = cost.
La correlazione assume un significato ancora più generale quando si considerano due v.a. estratte da un processo aleatorio (3): R in questo caso dipende dai due istanti t1 e t2, ed è legata alle proprietà spettrali del processo, (teorema di Wiener).
Nel caso in cui il processo sia stazionario la funzione di correlazione dipende solo dalla differenza tra gli istanti di tempo τ = t2-t1.
La funzione di autocorrelazione è esprimibile anche per segnali deterministici.
Veniamo ora alla prima domanda, da quanto detto è facile dimostrare le seguenti proprietà: per i segnali limitati nel tempo la funzione di autocorrelazione è ancora limitata nel tempo, e di durata doppia. Per i segnali periodici anche la funzione di autocorrelazione è periodica. In ogni caso la funzione di autocorrelazione ha un massimo in τ=0, ed è simmetrica rispetto all’asse y.
Nel caso di un processo Pulse Amplitude Modulation (PAM) (4), in cui viene codificata una sequenza numerica z(n) sull’ampiezza di un treno di impulsi, la funzione di autocorrelazione è la convoluzione della funzione di autocorrelazione del segnale numerico RZ(k) con l’autocorrelazione del singolo impulso Rp(τ)
Lo spettro è il prodotto degli spettri.
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per chi non ha molta dimestichezza con le variabili aleatorie, oltre alla definizione nelle prime righe della voce di Wiki, sono utili anche questa simpatica risposta di Gino Favero http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=722 che approccia le variabili aleatorie dal punto di vista del risultato dei lanci ripetuti di una moneta, e questa risposta di Federico Angelini http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=12294
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due v.a. si dicono indipendenti se la densità di probabilità congiunta è fattorizzabile nel prodotto delle densità di probabilità: p(x1,x2) = p(x1) p(x2); due v.a. indipendenti sono necessariamente incorrelate, ma non vale in generale il viceversa. Se le v.a. sono Gaussiane vale anche il viceversa.
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si veda la risposta di Gianfranco Verbana che tratta della funzione di autocorrelazione, particolarmente approfondita per quanto riguarda i processi aleatori http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=8788; esempi di processi aleatori sono nella risposta http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=11981
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si veda la ripsosta di Gianfranco Verbana sui processi PAM http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=9107