L’ambito è quello della relatività generale e delle geometrie non euclidee. Lo spazio attorno ad un pianeta (o attorno ad una qualunque massa) ha una curvatura positiva (geometria ellittica) o negativa (geometria iperbolica)? Ossia, la gravità agisce sullo spazio circostante incurvandolo in modo che esso sia più “concentrato” o più “rarefatto”?

La curvatura di cui parla la relatività generale e’ quella dello spaziotempo e non dello spazio solamente. La geometria dello spaziotempo individua delle leggi di evoluzione orarie (=spaziotemporali) dette curve geodetiche.

Queste leggi di evoluzione rappresentano le storie spaziotemporali dei corpi in caduta libera, sottoposti alla sola forza di gravita’. Quest’ultima, in un certo senso, e’ rappresentata dalla curvatura (e dalla metrica) dello spaziotempo. Se non ci fosse tale curvatura, le geodetiche descriverebbero moti rettilinei privi di accelerazione.

Di conseguenza la curvatura dello spaziotempo "agisce" in modo cinematico: non riguarda solo la forma della traiettoria del moto, ma anche la velocita’ e l’accelerazione con le quali tale traiettoria viene percorsa. La presenza di curvatura dello spaziotempo si rivela quindi anche, e principalmente, nell’accelerazione che un corpo soggetto a tale curvatura dello spaziotempo possiede.

Tuttavia anche questa e’ una visione abbastanza approssimativa, in quanto la nozione di spazio separata dalla nozione di tempo e’  arbitraria in relativita’ generale e non ha molto senso distiguere tra qualcosa come "curvatura dello spazio" e qualcosa come "curvatura del tempo".
In quella che si chiama approssimazione newtoniana delle equazioni di Einstein, esiste un sistema di coordinate che separa, nell’ambito dell’approssimazione detta, lo spazio dal tempo: tre coordinate sono spaziali e una temporale (in un senso molto preciso e tecnico che non spieghero’ qui).

E’ importante precisare che malgrado possa sembrare che l’approssimazione considerata riguardi situazioni in cui la gravita’ e’ debolissima, non e’ cosi’, l’approssimazione Newtoniana e’ completamente adeguata a descrivere il sistema solare (con l’eccezione del moto di Mercurio, pianeta troppo vicino alla sorgente di gravita’).
Nelle quattro coordinate usate nell’approssimazione newtoniana, la descrizione della dinamica della relativita’ generale approssima quella della meccanica classica e, rispetto a quella precisa coordinata temporale e nello "spazio" individuato da quelle tre precise coordinate spaziali, le equazioni della geodetica diventano le equazioni della meccanica classica di Newton del moto di un punto materiale sottoposto ad una forza gravitazionale (in quelche modo individuata dalla metrica dello spaziotempo).

In questo contesto si puo’ porre la domanda fatta dato che esiste una nozione, sia pure approssimativa, di spazio. Uno puo’ andare a vedere che genere di geometria ci sia nello spazio dell’approssimazione Newtoniana. Si deve tenere presente che, in generale la metrica dello spazio e la sua curvatura possono dipendere dal tempo.
Tuttavia, la risposta, abbastanza sorprendente, e’ che la geometria spaziale e’ sostanzialmente euclidea!
In questa approssimazione NON e’ la curvatura della geometria dello spazio la responsabile del fatto che i moti geodetici dei pianeti seguano curve dalla traiettoria spaziale chiusa. La curvatura spaziale viene completamente trascurata nell’approssimmazione newtoniana.
La responsabilita’ del tipo di moto e di traiettoria e’ della parte temporale della curvatura (piu’ precisamente della metrica).

Chiarito questo importante punto, ci si puo’ porre in situazioni differenti e considerare situazioni in cui lo spazitempo abbia qualche nozione preferenziale di spazio e di tempo, a causa di qualche particolare "simmetria". Situazioni siffatte si hanno per "spazitempo statici". Per esempio quelli che si ottengono risolvendo le equazioni di Einstein per sorgenti di gravita’ stazionarie a simmetria sferica (si ottiene la metrica di Schwarzschild). In questo contesto si puo’ uscire dall’approssimazione Newtoniana (si puo’ avere addirittura un buco nero). La metrica e la curvatura nello spazio sono, in questo caso, definite ed indipendenti dal tempo, ma in generale non si ha una curvatura costante. La nozione di spazio a curvatura positiva, negativa o nulla, funziona solo per spazi geometrici che si chiamano "omogenei" in virtu’ del fatto che le proprieta’ metriche sono invarianti al variare del posto e ruotando attorno ad ogni posto. La presenza di una sorgente di curvatura (di gravita’) rompe l’omogeneita’ dello spazio e non si ricade piu’ in nella classe degli spazi tridimensionali omogenei. Quindi si ha sempre uno spazio NON euclideo, ma non e’ sufficiente la classificazione degli spazi omogenei per catalogarlo, ci vuole una classificazione piu’ fine dovuta alla geometria differenziale riemanniana.