Quella della “prima volta” è una domanda un po’ subdola, dato che richiederebbe delle lunghe e minuziose ricerche storiografiche, per verificare quale sia stato effettivamente il primo tentativo nella storia di determinazione della massa lunare.
Del resto, alcune considerazioni logiche ci possono portare ad una risposta sensata: in mancanza delle leggi della dinamica e della legge di gravitazione è impossibile fare calcoli sulle interazioni tra i corpi celesti, che sono indispensabili per stimare le loro masse. Di conseguenza il primo che ebbe a disposizione gli strumenti giusti fu l’autore stesso delle suddette leggi, vale a dire Newton
Si dà il caso che Newton si sia cimentato nel calcolo della massa della Luna, pertanto ha senso ritenere che il suo sia stato il primo tentativo.
Nel libro “Introduction to Celestial Mechanics” Rybov dice che Newton applicò, in prima approsimazione, la terza legge di Keplero per conoscere il rapporto tra la massa dei pianeti e quella del Sole.
Applicando la terza legge di Keplero separatamente alla Terra e alla Luna (nei loro moti rispettivi attorno al Sole e alla Terra) abbiamo infatti:
(Tl3/Tt3)*(at3/al3) = Ms/Mt (1)
dove con Tl e Tt sono rispettivamente i periodi orbitali della Luna e della Terra, con al e at i semiassi maggiori delle orbite lunare e terrestre e con Ms e Mt le masse del Sole e della Terra.
Va notato però che si tratta di una misura di massa relativa, cioè è possibile stimare la massa del Sole in masse terrestri. La misura assoluta delle masse richiedeva una valutazione del valore della costante di gravitazione universale G, che però Newton non fu in grado di effettuare. Storicamente la prima misura precisa di G è attribuita a Cavendish, ma il primo che riuscì ad ottenere una misura di G (sia pure approssimata) basata su dati sperimentali fu Maskeline e, ancor prima di lui ma con risultati ancor meno accurati, Pierre Bouguer.
Ciò non di meno, avendo una stima (relativa) della massa del Sole, Newton pensò di usarla per la stima della massa della Luna, facendo uso dell’effetto delle maree. L’idea alla base à la seguente: l’effetto delle maree è un effetto delle masse celesti di tipo differenziale, perciò è proporzionale alla massa del corpo (Luna o Sole) e inversamente proporzionale al cubo della distanza.
E’ interessante notare che Newton fece l’assunzione (corretta) del decrescere dell’effetto mareale col cubo della distanza, senza esplicitare (o quanto meno pubblicare) i suoi calcoli, per cui è anche possibile che ci sia arrivato per intuizione e con un po’ di fortuna.
Dunque, considerando che Sole e Luna sottendono un angolo α circa uguale e supponendo la loro densità ρ costante, la loro massa è proporzionale a ρ r3, con r il loro raggio. Detta d la distanza si ha che
r = d sen(α) (2)
da cui ne deriva che la massa M è proporzionale a
M ∼ ρ d3 sin3(α) (3)
Ora Newton suppose che l’effetto dell’attrazione mareale di Luna e Sole sia vettoriale e si possa applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Detti dunque L e S gli effetti mareali di Luna e Sole (che per quanto visto sono proporzionali a M/d3), ne deriva che
S/L = ρS/ρL
Per ottenere i valori di S e L, Newton si fece passare da Samuel Sturmy le rilevazioni dei massimi e minimi di marea effettuate a Bristol, dopo di che suppose che i massimi si hanno in corrispondenza di L+S e i minimi di L-S
Ottenne l’equazione (L+S)/(L-S)=9/5 che risolvendo dà
L = 3.5 S
Questa relazione gli avrebbe consentito una stima delle densità relative di Sole e Luna con un errore tutto sommato non disprezzabile dal momento che la misura moderna è L = 2.2 S. Del resto Newton era all’oscuro del fatto che le maree sono fortemente influenzate dalla geografia della costa, che i massimi di marea, per un effetto di trasporto, non avvengono con la Luna sulla verticale ma con circa 30° di ritardo, e non per ultimo che Luna e Sole hanno tutt’altro che densità costante.
Newton invece tentò di introdurre dei fattori correttivi che è oggi noto non siano rilevanti, se non addirittura sbagliati, arrivando al risultato di L = 4.5 S, con un errore di un fattore 2, che per l’epoca è tutt’altro che disprezzabile.
Nota la densità della Luna, la stima della massa ne deriva di conseguenza, pur di conoscere la sua distanza, applicando la formula (3). Del resto la misura della distanza della Luna è nota fino dall’antichità, per cui non costituiva un problema ai tempi di Newton.
Si veda a tal proposito per esempio questa precedente risposta:
http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=6405