“Veri e propri geni dell’astronomia furono Eratostene di Cirene, che riuscì a calcolare con sorprendente approssimazione la circonferenza terrestre, Aristarco di Samo che determinò le dimensioni della luna e del sole e la loro distanza dalla terra, Ipparco di Nicea che calcolò la durata dell’anno solare in 365 giorni, 5 ore e 55 minuti, con un eccesso di appena sette minuti rispetto al computo moderno”. Da “Le linee del tempo” storia per la 1a superiore, di Andrea Giardina. Sono rimasto molto impressionato da questo. Volevo sapere se queste informazioni sono attendibili e se lo sono vorrei anche sapere come hanno fatto (o almeno come pensate che siano riusciti a farlo). Mi interessa soprattutto la scoperta di Aristarco. Vuol dire che i Greci già sapevano cos’era l’interazione gravitazionale e la forza centrifuga?

Naturalmente
gli antichi non conoscevano affatto la gravitazione universale ne’ alcun
altro concetto di fisica dell’ “era scientifica”, ma la sapevano abbastanza
lunga in matematica, ed in particolare in geometria e trigonometria, per
riuscire in queste imprese. La stima delle dimensioni della Terra fatta
da Eratostene parte dalla seguente constatazione: la circonferenza terrestre
è lunga 2R con R raggio della
Terra, perciò due località la cui distanza sia tale da sottendere un angolo
visto dal centro della
Terra, disteranno tra loro

dunque
il raggio della Terra vale
.
Il problema è calcolare D per due qualsiasi località ed il relativo .
Eratostene, che viveva ad Alessandria, venne a sapere che in un particolare
giorno dell’anno a Syrene (oggi Assuan) il Sole illuminava il fondo dei
pozzi mentre egli sapeva che ciò ad Alessandria non accadeva. La ragione
è che il Sole era a perpendicolo sull’orizzonte di Syrene ma non su quello
di Alessandria; la differenza di inclinazione è proprio l’angolo che cerchiamo
e può essere misurata valutando l’ombra di un bastoncino conficcato a
terra e con l’ausilio di alcune formule trigonometriche. Supponendo ora
che le due località si trovino sul medesimo meridiano (il che è abbastanza
vero), la loro distanza è esattamente il D da inserire nella formula.
La cosa sorprendente è che Eratostene sapeva questa distanza solo molto
approssimativamente (in “giorni di cammello”, non certo in metri!) e ciò
nonostante diede una stima delle dimensioni della Terra sbagliata solo
del 10%.

La stima
data da Aristarco delle dimensioni e distanza di Luna e Sole erano piuttosto
sbagliate per difetto; molto più preciso fu un secolo dopo Ipparco (senza
dubbio il più grande astronomo dell’antichità). Egli sapeva delle dimensioni
approssimate della Terra e sapeva anche che la sua ombra, durante le eclissi
totali di Luna, appare circa 2,5 volte le dimensioni della Luna. Egli
dedusse pertanto che, supponendo che l’ombra della Terra abbia una forma
molto vicina ad un cilindro, il nostro satellite debba essere circa 2,5
volte più piccolo della Terra. La precedente ipotesi è vera solo per un
Sole infinitamente distante; in realtà l’ombra della Terra è un cono,
ma l’approssimazione è abbastanza giusta. A questo punto, siccome la Luna
vista da Terra sottende un arco di circa 1/2 grado, possiamo immaginare
che il suo disco (di diametro d) sia la base di un triangolo equilatero
il cui vertice opposto misuri =0,5
gradi. A questo punto, con un po’ di trigonometria, si risale alla distanza
D della Luna data da

Per le dimensioni
del Sole, basta sapere che durante le eclissi totali di Sole il disco
lunare eclissa quasi perfettamente quello solare, il che significa che
i due corpi celesti sottendono lo stesso arco. Perciò i triangoli aventi
per base la Luna ed il Sole e per vertice opposto l’osservatore sono simili,
quindi basta sapere la distanza del Sole e fare una proporzione per conoscerne
le dimensioni. Il problema della misura della distanza del Sole fu affrontato
da Ipparco nel seguente modo: quando la Luna è al primo quarto, l’angolo
Terra-Luna-Sole è di 90°, è inoltre possibile misurare l’angolo Luna-Terra-Sole
() con un goniometro, mentre
la distanza Terra-Luna (d) è nota. Usando ancora la trigonometria si risale
alla distanza Terra-Sole pari a
.
Sfortunatamente, siccome il Sole è molto più distante della Luna,
vale poco meno di 90° ed in queste condizioni anche piccoli errori di
misura si ripercuotono pesantemente sulla formula precedente (infatti
per che si avvicina a
90°, cos() si avvicina
a 0 e D tende rapidamente all’infinito), inoltre gli astronomi antichi
non sapevano dell’esistenza della rifrazione atmosferica che altera leggermente
le posizioni apparenti dei corpi celesti ed inficia la misura precisa
degli angoli.

Venendo
alla misura della durata dell’anno, la precisione ottenuta da Ipparco
sorprende parecchio anche me, se non altro perché per compierla non è
stata sufficiente una singola osservazione e misura come nei casi precedenti,
ma è stato necessario seguire i moti celesti per diversi decenni. C’è
infatti un solo modo, con gli strumenti dell’antichità, per stabilire
la durata dell’anno, ed è quello di osservare il susseguirsi di eventi
che si sa accadere con scadenza annuale e misurare l’intervallo di tempo
trascorso tra essi. Il problema sarebbe banale se l’anno durasse un numero
intero di giorni, in quanto in tal caso basterebbe un solo anno per compiere
le misura; siccome ciò sfortunatamente non accade, bisogna osservare per
diversi anni ed eseguire una media sulle diverse misure.
Gli astronomi Egiziani seguivano per esempio la levata eliaca di Sirio
(guardavano cioè in quale giorno Sirio si rendeva visibile poco prima
dell’alba, subito dopo la sua congiunzione col Sole) e stabilirono un
anno di 365,25 giorni, valore adottato da Cesare per la sua riforma del
calendario; Ipparco invece seguiva lo spostamento in declinazione del
Sole lungo la sfera celeste, misurando la sua altezza massima ogni giorno
al mezzogiorno locale servendosi di orologi solari. Attraverso queste
misure, protratte per diversi anni, egli fu in grado non solo di stabilire
la durata dell’anno con incredibile precisione, ma si accorse pure della
diversa durata delle stagioni, che oggi si sa essere dovuta all’ellitticità
dell’orbita terrestre.