La domanda posta è alquanto interessante e necessita di una risposta piuttosto articolata. A tal proposito cerchiamo di formulare meglio il problema dal punto di vista matematico.
E’ dato un cilindro di diametro di base d e altezza h; è data inoltre una striscia, supponiamo di illimitata da un lato, di nastro adesivo di larghezza L. Nella seguente figura sono riportati lo sviluppo del cilindro sul piano e la striscia di nastro illimitata a destra di altezza L da utilizzare.
Il problema è quello di determinare la striscia, costituita da un solo "pezzo", che si avvolge sul cilindro dato coprendo interamente la superficie laterale del cilindro e non sovrapponendosi ad essa in alcun punto. Va subito osservato che una qualunque soluzione va bene in termini di costo del nastro, ovvero in termini di superficie del nastro utilizzata: infatti la superficie laterale del cilindro da ricoprire ha area fissata, e quindi tutte le striscie di nastro costituite da un solo "pezzo" avranno la stessa area pari alla superficie laterale del cilindro; ciò segue dal fatto che il cilindro è sviluppabile sul piano e figure tracciate sulla superficie laterale del cilindro non cambiano l’area della propria superficie una volta sviluppate sul piano.
Primo caso: L>h. In tal caso basta tagliare la zona segnata nella seguente striscia di nastro per ottenere una striscia di nastro che si avvolge perfettamente sulla superficie laterale del cilindro.
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Secondo caso: L=h. Si procede esattamente come nel caso precedente; per altro in tal caso osserviamo che un solo taglio è sufficiente.
Terzo caso: L<h. Supponiamo anzitutto che il tubo sia di altezza infinita, e preoccupiamoci di stabilire come il nastro di larghezza L si avvolge sul cilindro stesso. Lo sviluppo dell’avvolgimento del nastro sul piano appare come nella seguente figura.
Con facile trigonometria si trova che deve essere L=πd senα. Osserviamo che quindi deve essere L<πd o L=πd. Di conseguenza non è possibile avvolgere il nastro sul cilindro nel caso L>πd. La situazione limite è infatti rappresentata dall’angolo massimo α=90°, che fornisce proprio L=πd. Nel caso 0<α<90° il nastro si avvolge sul cilindro seguendo un’elica circolare: infatti i segmenti di retta che il nastro segue sullo sviluppo piano del cilindro come nella figura sopra riportata, diventano un’elica circolare una volta che lo sviluppo piano viene "riavvolto" per formare il tubo cilindrico (è un fatto di Geometria differenziale: le geodetiche del piano, che sono i segmenti di retta, restano geodetiche anche a avvolgimento avvenuto, poichè lo sviluppo del cilindro è un’isometria, e quindi basta ricordare che le eliche circolari sono geodetiche del cilindro).
Supponiamo ora di essere nel’unico caso non banale, ovvero in cui si ha L<πd. Consideriamo quindi il tubo cilindrico di altezza finita h; sia k numero naturale con kπd tan α ≤ h < (k+1)πd tanα. Allora la striscia di nastro necessaria è data dalla seguente figura.
Per costruzione si ha BC=πd; si ricava facilmente anche la lunghezza del segmento AB, che viene è data da
AB=h / senα.
Tale formula permette il calcolo esatto della striscia di nastro necessaria.