La domanda posta è abbastanza profonda, talmente profonda che ha una risposta che non piace: è così perchè vogliamo che sia così.
Chiarendo meglio quanto detto, quello che si può dire è che l’intuito geometrico vorrebbe che una retta fosse un insieme continuo di punti, ovvero che non ci siano interruzioni. Poi uno scopre che i numeri razionali messi in fila sulla retta non riescono a completare la retta stessa; i punti che “mancano all’appello” in modo da completare la retta vengono detti irrazionali, ed il complesso di punti è detto insieme dei numeri reali. Questa è grosso modo l’idea con la quale si costruisce, seguendo le tecniche moderne di teoria degli insiemi, l’insieme dei numeri reali. Facciamo altresì notare che tale insieme è costruito ancora nella delicata zona dei fondamenti della Matematica, prima della Geometria quindi; ne segue che la retta geometrica, per la Matematica moderna, viene costruita proprio come l’insieme R.
La domanda posta però premeva più sul fatto inverso: come mostrare che la retta è un buon modello dei reali. Ciò può essere visto a posteriori. Infatti in base alla costruzione dei reali, sappiamo che ogni reale è approssimato bene quanto si vuole da numeri razionali. Ora fissando un segmento OP sulla retta, se ci proponiamo di misurare il segmento OP, avendo fissato una certa unità di misura, potrebbe capitare che nè l’unità stessa nè un suo sottomultiplo entrino un numero intero di volte nel segmento OP; ne segue che la misura di OP non è razionale, ma possiamo sempre approssimare la misura di OP con un numero razionale, bene quanto vogliamo: a tal scopo basterà prendere via via sottomultipli sempre più piccoli dell’unità di misura fissata. Dunque la misura di OP (leggi la posizione del punto P, o il punto P stesso) viene ad essere il “limite” di una successione di numeri razionali, ovvero un numero reale.
E’ chiaro che questa argomentazione non dimostra che R e la retta sono la stessa cosa; noi non sappiamo cosa sia veramente la continuità della retta geometrica, ma il modello più facile che sappiamo trattare è quello di R, ovvero R è il più semplice modello (ed anche l’unico in nostra conoscenza) che fornisce la continuità geometrica. Ciò è infatti suggerito dalle considerazioni fatte di Teoria elementare della misura, ma non è dimostrato da essa. Una dimostrazione non può esistere, può solo esistere la nostra fiducia in quello che stiamo facendo.