Vorrei essere spiegato il teorema di Cauchy e la formula di Cauchy per le funzioni olomorfe, non dal punto di vista teorico (l’ho gia capito), ma dal punto di vista intuitivo. Non mi capacito dei risultati ottenuti. Vorrei inoltre sapere come si possono diagrammare le funzioni complesse, se si può usare i programmi Matlab e Mathematica.

Dalla domanda posta emerge il fatto che la teoria è già ben nota e che quindi non necessita di grandi richiami. Daremo quindi solo una risposta discorsiva.

Partiamo dal fondo: diagrammare una funzione di variabile complessa a valori complessi equivale a diagrammare un campo vettoriale in R². Ovviamente non è vero che ogni campo vettoriale piano sia il diagramma di una funzione di variabile complessa a valori complessi; infatti per essere olomorfa una funzione da A aperto di C in C deve avere le componenti che soddisfano le condizioni di Cauchy-Riemann. Tali condizioni dicono, nel linguaggio dell’analisi reale, che la forma differenziale associata in modo naturale alla funzione olomorfa è chiusa, e come tale il suo integrale lungo una curva chiusa regolare a tratti è nullo: questo è il Teorema di Cauchy, che quindi, alla luce ti questa interpretazione delle funzioni derivabili in senso complesso, appare come una facile conseguenza dell’olomorfia stessa (cosa che è in realtà). 

La conseguenza più importante e immediata del Teorema di Cauchy è appunto la formula integrale di Cauchy che  permette di trovare il valore puntuale f(z) di una funzione olomorfa f in z, in funzione del valore che la funzione f stessa assume lungo il bordo di una qualunque curva chiusa e regolare a tratti che circonda z; anche questa formula non è una sorpresa: sappiamo che "deformando" la curva tenendola chiusa l’integrale non cambia, per cui usando il Teorema di Cauchy la formula integrale di Cauchy diventa una immediata conseguenza del Teorema della media integrale.