Leggendo alcuni articoli ho visto che sia numeri che matrici vengono considerati degli enti matematici, sottoponibili allo stesso tipo di operazioni, con opportune limitazioni. Così come ha senso elevare una matrice a un numero reale, perché non esiste anche una elevazione con esponente matriciale?

Anzitutto va detto che molte cose in Matematica possono aver senso, ma non è per niente detto che abbiano anche utilità.

Nella fattispecie della domanda un’operazione di elevamento a potenza con esponente matriciale esiste, è definita, e utilizzata in teoria delle equazioni differenziali ordinarie; in particolare si tratta di una operazione della forma x^A dove x è un numero reale strettamente positivo. Infatti basta ricordare lo sviluppo in serie di e^x, dato da

e^x=∑_n xⁿ/ n!

per definire in modo analogo, per ogni matrice A,

e^A=∑_n Aⁿ/ n!

Una volta definito l’esponenziale di una matrice con base e (che gode delle stesse proprietà dell’esponenziale di un numero reale) il gioco è fatto; infatti basta ricordare che per ogni x>0 si ha

x^y=e^ylogx, per ogni y reale.

Mangiamo la foglia e definiamo quindi

x^A=e^Alogx.

Le proprietà dell’esponenziale di matrici sono ovviamente le stesse.

Un altro modo per interpretare la domanda sarebbe quello di tentare di definire un’operazione della forma A^B dove A e B sono due matrici; questo tipo di operazione non è oggi utilizzata, nè definita sui comuni testi di Matematica (almeno che io conosca); un tentativo potrebbe essere

A^B=e^BlogA

ma sorge il problema di definire il logaritmo di una matrice: se e^C=A, allora verrebbe voglia di dire che C=logA. Ma l’esponenziale di matrice con base e è un’applicazione invertibile? Ricordiamo che logx è definito solo per x>0, quindi sembrerebbe sensato dare delle condizioni alla matrice A per rendere lecito scrivere logA, ma quali condizioni?
La problematica non è quindi banale; non essendoci letteratura in proposito (che io conosca) posso solo dire che con ogni probabilità quest’ultimo modo di operare con le matrici non è un’operazione che riveste una scarsa utilità per la Matematica di oggi.