Perchè le equazioni di Navier- stokes sono difficili da risolvere? Come è legato il termine nonlineare alla sensibilità alle condizioni iniziali? Come si possono creare vortici in un fluido perfetto senza viscosità? Nei superfluidi turbolenti ci sono punti di vorticità. Come si spiega?

RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DI NAVIER – STOKES

Le equazioni di Navier–Stokes (NS) descrivono il moto dei fluidi esprimendo il concetto generale per cui l’accelerazione delle particelle fluide è il risultato delle variazioni di pressione e dell’azione delle forze viscose dissipative che agiscono all’interno di un fluido.

Nell’ipotesi di considerare fluidi newtoniani (cioè fluidi per i quali gli sforzi viscosi hanno una dipendenza trascurabile dalla velocità) incomprimibili, dalle equazioni che esprimono la conservazione della massa e della quantità di moto e si ricava la forma differenziale delle equazioni di Navier – Stokes:

dove ρ è la densità, u il vettore velocità, t il tempo, p la pressione, f la densità delle forze di volume e μ la viscoità del fluido. Avendo ipotizzato che il fluido sia continuo, differenziabile ed incomprimibile (densità costante) le variabili da trovare si riducono alle 3 componenti della velocità e alla pressione. A questo punto le tre componenti dell’equazione differenziale di Navier-Stokes più l’equazione di continuità (conservazione della massa) rappresentano un sistema chiuso che, in linea di principio, può essere risolto ipotizzando appropriate condizioni al contorno. Nel caso in cui cade l’ipotesi di incomprimibilità, la densità diventa una variabile e si rende quindi necessario ricorrere alle equazioni di conservazione dell’energia (che a sua volta introduce la variabile temperatura) e all’equazione di stato del fluido per chiudere il problema, ottenendo 6 equazioni per le sei incongnite costituite dalle 3 componenti della velocità, pressione, temperatura e densità.

E’ bene ricordare che le equazioni di NS descrivono il moto dei fluidi solo in modo approssimato, infatti i fluidi reali sono diversi dal fluido continuo ed omogeneo descritto dalle equazioni. La loro risoluzione consente comunque di ottenere modelli sufficientemente accurati per affrontare un grande numero di problemi pratici in svariati campi (aeronautica, meteorologia etc.).

NON LINEARITA’ E DIFFICOLTA’ NELLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI NS

La difficoltà nella risoluzione delle equazioni di NS deriva dal fatto che, nel caso generale, il moto di un fluido ha sempre una componente di accelerazione non stazionaria ed una convettiva. La componente convettiva rende non lineari le equazioni differenziali alle derivate parziali, determinando in pratica l’impossibilità di ottenere una soluzione analitica.
Le ipotesi sulle condizioni iniziali e al contorno influiscono sul termine non lineare determinando la natura delle equazioni, che possono di volta in volta diventare iperboliche, paraboliche o ellittiche:

a) si ha ad esempio un’equazione iperbolica per correnti di fluido non viscoso, stazionarie e supersoniche oppure non stazionarie, supersoniche e subsoniche
b) si ha un’equazione parabolica per corrente stazionaria di fluido viscoso newtoniano, comprimibile o meno, presenti termini degli sforzi trascurabili in una direzione dello spazio
c) si ha un’equazione ellittica per moto stazionario subsonico di fluidi non viscosi

In alcuni casi particolari, definiti da determinate condizioni iniziali ed al contorno (flusso tra lastre piane, flusso di Couette, etc.), i termini non lineari diventano identicamente nulli e le corrispondenti equazioni di Navier-Stokes ammettono quindi una soluzione analitica.

VORTICITA’ E SUPERFLUIDI TURBOLENTI

La turbolenza nei cosiddetti fluidi quantistici o superfluidi rappresenta un campo di ricerca di frontiera della fisica sperimentale, negli ultimi anni si sono raggiunti comunque alcuni importanti risultati che ci permettono di affrontare con una certa sicurezza la domanda posta.

Per una semplice e chiara esposizione sulle principali proprietà dei superfluidi si rimanda alla seguente pagina di Wikipedia:

http://it.wikipedia.org/wiki/Superfluidit%C3%A0

E’ utile ricordare che in un superfluido le particelle si trovano tutte nel medesimo stato quanto meccanico, si comportano cioè all’unisono, come se fossero un’unica particella, al contrario degli atomi dei fluidi normali che sono indipendenti gli uni dagli altri. Tra le caratteristiche più curiose di un superfluido c’è quella dell’irrotazionalità: se ruotiamo il contenitore che contiene un superfluido questi al suo interno si mantiene assolutamente immmobile, il suo moto è quindi irrotazionale. E’ però possibile ottenere una sorta di imitazione del moto rotazionale iniettando nel superfluido una serie di vortici (sono state messe a punto svariate tecniche basate su reti vibranti, fili in movimento etc. ), che tendono a disporsi lungo file vorticose in cui solo la parte interna di ciascun vortice è in movimento mentre tutto ciò che vi sta intorno è assolutamente immobile!
Secondo la teoria dei due fluidi di Landau, un superfluido consiste di due componenti: il fluido viscoso normale, legato all’eccitazione termica, ed il superfluido totalmente privo di attriti viscosi ed associato allo stato quantistico della materia. Allo zero assoluto (0 K) la componente superfluida è l’unica presente, al crescere della temperatura la componente normale aumenta.
Mentre in un fluido normale i vortici possono essere di tutte le dimensioni, in un superfluido la meccanica quantistica limita i moti rotazionali a filamenti di vortici quantizzati che assomigliano a dei piccolissimi “tornado” (vedi fig. 1). In particolare, in un superfluido la circolazione, che è definita in termini di integrale al contorno del campo di velocità attorno al centro del vortice, è quantizzata in unità di h/M, dove h è la costante di Planck ed M è la massa della particella di superfluido.

Figura 1 – Vortici nei gas: un reticolo di vortici in superfluido ruotante contenuto in un campo magnetico, ogni vortice appare come un tornado sulla superficie della sfera terrestre

Nei fluidi ordinari le caratteristiche del flusso sono descritte dal numero di Reynolds, cioè da un numero adimensionale che esprime il rapporto tra le forze inerziali e le forze viscose nel fluido:

Re = U L/v

Dove U ed L rappresentano rispettivamente la velocità e la lunghezza caratteristiche del sistema considerato, mentre v rappresenta la viscosità cinematica.. I flussi a basso numero di Reynolds sono dominati dalla viscosità e tendono ad essere uniformi e laminari, all’aumentare del numero di Reynolds compaiono alcune instabililtà fino a quando per Re sufficientemente alti tutto il flusso diventa turbolento. Per poter utilizzare strumenti matematici già noti, in analogia con i fluidi normali, anche per i superfluidi è stato definito un numero di Reynolds Re_s molto simile a quello “normale” a parte il fatto che dipende dalla massa della particella superfluida invece che dalla viscosità. Purtroppo però nei superfluidi il numero di Reynolds non caratterizza completamente i fenomeni turbolenti, tantè che anche a grandi numeri di Re_s il superfluido può presentare caratteristiche di “laminarità”. Sembra invece più chiara la dipendenza dalla temperatura, con flussi regolari a temperature più elevate e presenza di turbolenza alle basse temperature. Ciò potrebbe essere legato all’effetto di smorzamento della parte viscosa normale su quella superfluida priva di viscosità: all’aumentare della temperatura l’aumento della parte viscosa contrasterebbe la turbolenza legata alla parte superfluida. Quindi cosi come aspetti “esterni” come la velocità e la lunghezza caratteristica inluenzano la turbolenza nei fluidi normali attraverso il numero di Reynolds, cosi aspetti “interni” come il fattore di smorzamento influenzerebbero la turbolenza nei superfluidi.

Si tratta ancora di ipotesi. Le questioni non risolte nel campo della turbolenza superfluida sono ancora molte, in particolare i suoi meccanismi dissipativi. E’ comunque ormai certo che nei superfluidi “canonici” i vortici quantizzati si formano alle basse temperature e che la complessità del loro stato vorticoso decade sempre più rapidamente al diminuire della temperatura.
Le instabililtà quantistiche alla base della nascita e della decadenza della turbolenza nei superfluidi hanno ben poche similarità con l’idrodinamica classica, ma potrebbero rappresentare la base per spiegare i fenomeni che regolano la turbolenza a tutti i livelli, dall’universo subatomico a quello cosmologico.