Cercherò di essere il più divulgativo possibile, dal momento che dare una spiegazione rigorosa alla domanda posta richiederebbe mettere in luce aspetti della Matematica molto delicati che stanno alla base di quella che oggi è nota come Teoria Geometrica della Misura, branca dell’Analisi Matematica di altissimo livello che occupa oggi posto in primo piano come ricerca scientifica.
Il punto nodale della questione è che la “dimensione” di un insieme (se esso è un volume, una linea, una superficie, ecc..) può essere definita in un modo abbastanza articolato ma molto potente e generale, ovvero attraverso la Teoria della misura, e più precisamente attraverso la definizione di misura di Hausdorff. La misura di Hausdorff di un insieme vuole solamente essere la sua lunghezza se l’insieme è un arco di curva (fatto bene…), l’area della sua superficie, se l’insieme è un pezzo di superficie fatta bene, oppure ancora la misura del suo volume, se l’insieme ha un’estensione tridimensionale, ecc…
La cosa interessante di tutto ciò è che la misura di Hausdorff si definisce per ogni insieme, e si definisce la d-misura di Hausdorff, con d numero reale non-negativo. Si dimostra che per ogni insieme E esiste un certo numero D, detto dimensione di Hausdorff, il quale ha la seguente bellissima proprietà: se d>D, allora la d-misura di Hausdorff di E è 0, e invece se d<D la d-misura di Hausdorff è infinita.
Se E è un arco di curva ragionevole, la sua dimensione di Hausdorff è 1, 2 per le superfici, ecc…. Ma la dimensione di Hausdorff non ha nessun dovere di essere un numero intero; un insieme E con dimensione di Hausdorff non intera si dice frattale. Faccio notare infine che la dimensione di Hausdorff potrebbe anche essere non razionale; il celebre insieme di Cantor, dalla costruzione non semplicissima, ha una dimensione di Hausdorff addirittura trascendente.