Il termine non linearità sta ad indicare la presenza di oggetti non lineari in un problema matematico.
Solitamente si parla di non linearità in un’equazione differenziale, dal momento che parlare di non linearità in un’equazione algebrica vorrebbe dire parlare di praticamente tutte le equazioni, escluso il primo grado.
Un’equazione differenziale lineare è della forma Lu=f, dove L è un operatore differenziale lineare che agisce sull’incognita u, ed f è una funzione nota.
Un operatore si dice lineare se L(αu+βv)=αL(u)+βL(v) per ogni coppia di scalari (α,β) e per ogni u,v funzioni nel dominio dell’operatore L.
Ad esempio l’equazione differenziale ordinaria u”+4u’=x è lineare, ed ancora l’equazione ∂u/∂x=x+y è un’equazione alle derivate parziali lineare. L’equazione u’+u2=0 non è un’equazione lineare, dal momento che l’operatore L(u)=u’+u2 non è un operatore lineare.
Trattare con equazioni lineari è molto spesso decisivo per la risoluzione (teorica) dell’equazione stessa; infatti tantissima teoria delle equazioni alle derivate parziali (per le equazioni ordinarie il Teorema di esistenza ed unicità locale non si preoccupa delle non linearità) funziona con successo se le equazioni sono lineari, dal momento che si riesce a ricondursi a Teoremi di esistenza di carattere generale validi per operatori o funzionali lineari. I problemi si complicano quando si trovano equazioni non lineari; allora la teoria diventa più debole.
Ad esempio, una tecnica molto usata è quella di semplificare un problema, approssimandolo con uno più facile; risolvere quindi il problema approssimato e cercare, con un’operazione di limite, di recuperare la soluzione del problema di partenza. Questo schema di carattere del tutto generale ha successo soprattutto se uno sceglie la “convergenza giusta” per passare al limite; e molto spesso le convergenze buone e utili sono quelle che passano al limite su oggetti lineari, ad esempio le convergenze deboli in spazi di funzioni.