Immagino che l’autore si riferisca al Teorema di Helmholtz che fornisce la soluzione “esatta” di un sistema di equazioni alle derivate parziali molto particolare. Tale Teorema è di un certo interesse, per esempio, per l’elettrodinamica classica in quanto consente di scrivere esplicitamente una rappresentazione del campo elettrico o magnetico una volta noti rotore e divergenza relativi.
TEOREMA DI HELMHOLTZ: In R3 siano date le due equazioni differenziali alle derivate parziali ∇ x A=B, ∇ *A=C, con B e C noti, sufficientemente regolari. Allora esiste un’unica soluzione A di classe C2 soddisfacente la condizione limr->∞ |r|A(r)=a, con |a|<∞.
La rappresentazione (implicita) della soluzione è data da:
A(r)=-1/4π ∫R3 [∇(∇*A(r’)) / |r-r’| ]dr’+1/4π ∫R3 [∇x(∇x A(r’)) / |r-r’| ]dr’.
Inoltre si ha
A(r)=-1/4π ∇ ∫R3 [∇*A(r’) / |r-r’| ]dr’+1/4π ∇ x ∫R3 [∇x A(r’) / |r-r’| ]dr’=
=1/4π ∇ ∫R3 [C(r’) / |r-r’| ]dr’+1/4π ∇ x ∫R3 [B(r’) / |r-r’| ]dr’,
=1/4π ∇ ∫R3 [C(r’) / |r-r’| ]dr’+1/4π ∇ x ∫R3 [B(r’) / |r-r’| ]dr’,
da cui si nota che il campo A è espresso come somma di due componenti, la prima irrotazionale, determinato dalla divergenza, e la seconda solenoidale, determinato dal rotore.