Consideriamo solo il caso esposto dall’autore, ovvero il caso di una funzione reale definita su un aperto A di R2. Sia quindi f=f(x,y) di classe C2(A); allora vale D1D2f(x,y)=D2D1f(x,y) per ogni x,y ∈A.
Dimostrazione. Mostriamo che fissato ε>0 e (x0,y0) ∈ A si ha |D1D2f(x0,y0)-D2D1f(x0,y0)|<2ε. Sia δ>0 tale che posto x1=x0+δ e y1=y0+δ con I=[x0,x1] e J=[y0,y1] si abbia |D1D2f(x,y)-D1D2f(x0,y0)| < ε e |D2D1f(x,y)-D2D1f(x0,y0)| < ε per ogni (x,y) ∈ I x J (ciò segue dalla continuità delle derivate seconde miste). Consideriamo
R=[f(x1,y1)-f(x0,y1)-f(x1,y0)+f(x0,y0)] / δ2;
Se dimostriamo che |R-D1D2f(x0,y0)| < ε e |R-D2D1f(x0,y0)| < ε abbiamo finito.
Consideriamo allo scopo la funzione φ(t)=f(x1,t)-f(x0,t), t ∈ J; per il Teorema di Lagrange esiste η ∈ J tale che
Consideriamo allo scopo la funzione φ(t)=f(x1,t)-f(x0,t), t ∈ J; per il Teorema di Lagrange esiste η ∈ J tale che
[φ(y1)-φ(y0)] / δ=φ'(η)=D2f(x1,η)-D2f(x0,η).
Sia ψ(t)=D2f(t,η), t ∈ I, per il Teorema di Lagrange esiste ξ ∈ I tale che
[D2f(x1,η)-D2f(x0,η)] / δ=[ψ(x1)-ψ(x0)] / δ=ψ'(ξ)=D1D2f(ξ,η).
Dunque si ha
R=[φ(y1)-φ(y0)] / δ2=[D2f(x1,η)-D2f(x0,η)] / δ=D1D2f(ξ,η).
E’ quindi mostrato che |R-D1D2f(x0,y0)| < ε, che segue dalla precedente e da |D1D2f(x,y)-D1D2f(x0,y0)| < ε.
La verifica di |R-D2D1f(x0,y0)| < ε è analoga.
La verifica di |R-D2D1f(x0,y0)| < ε è analoga.