La teoria della misura nasce per la necessità del calcolo degli integrali multipli attraverso un metodo più furbo e funzionale dell’integrazione di Riemann, che è l’integrazione di Lebesgue.
Detto in parole povere per il calcolo dell’integrale di Lebesgue si affetta la regione di piano sottesa dal grafico di una funzione (di una variabile) per orizzontali e non per verticali; ciò rende molto più flessibile la definizione specie per le funzioni che non sono continue. C’è però lo svantaggio che tale metodo richiede di saper misurare insiemi a priori arbitrari nel dominio della funzione. Se quindi siamo in dimensione maggiore di 1 la cosa si fa molto più delicata, in quanto bisogna trovare una “funzione” che misuri gli insiemi, ovvero che restituisca la lunghezza se un insieme è una curva, la sua area se l’insieme è una superficie, il volume se l’insieme ha un’estensione tridimensionale, ecc…
Tale funzione è la misura di Hausdorff, che viene detta anche misura di Lebesgue nel caso particolare in cui la dimensione dello spazio coincide con la dimensione della misura che viene calcolata. Ad esempio in R3 un insieme può avere misura di Hausdorff di dimensione 1 finita non nulla, e quindi si tratta di una “curva”; oppure può avere misura di Hausdorff di dimensione 2 finita non nulla, e allora sarà una “superficie”. Infine potrebbe avere misura su Hausdorff di dimensione 3 finita non nulla, che coincide quindi con la sua misura di Lebesgue.
In base a tutto ciò si definisce anche la dimensione di Hausdorff, che è appunto 1 per le curve, 2 per le superfici, ecc… Un segmento viene ad avere dimensione di Hausdorff 1, ha una lunghezza finita, pur essendo in un certo senso trascurabile, se immerso in uno spazio di dimensione più elevata.
Con la teoria della misura di Hausdorff si trattano in modo relativamente facile integrali di linea, di superficie, di volume, doppi, ecc…: occoorrono almeno due requisiti: la misurabilità del dominio (quasi sempre soddisfatta, costruire un insieme non misurabile è molto difficile, e l’insieme stesso è molto strano) e la misurabilità delle funzioni: una funzione reale è misurabile quando i suoi sottolivelli lo sono, ovvero gli insiemi f-1(c,+∞) sono misurabili. Si vede subito l’importanza di ciò per il calcolo integrale: tali sottolivelli sono le controimmagini di un affettamento della regione sottesa dal grafico, per cui per integrare secondo Lebesgue tali insiemi debbono essere misurabili.