Il sistema di numeri più semplice è quello dei
numeri naturali, che si possono pensare derivati dalla
necessità di “contare” oggetti. I numeri naturali ammettono di essere
sommati (m + n) e moltiplicati fra loro (mn):
rimanendo nella metafora del contare, somma e prodotto esprimono
rispettivamente quello che accade mettendo assieme due gruppi di m e
n oggetti oppure disponendo degli oggetti in m file di n
oggetti l’una. Tali operazioni portano naturalmente alla definizione di due
operazioni inverse: la sottrazione e la divisione, che però non sempre
hanno significato all’interno dell’insieme dei numeri naturali: si pensi, per
esempio, alle scritture 5 – 8 oppure 12 : 5. Cercando
di rendere in qualche modo (che forse non vale la pena di spiegare
rigorosamente in questa sede) possibili queste operazioni, si può
procedere in due direzioni.
La prima direzione
è quella dei numeri interi, che si ottengono essenzialmente
considerando i risultati di tutte le possibili sottrazioni tra numeri
naturali. Così, il risultato dell’operazione 12 – 37
è un numero intero; il sistema di numeri viene costruito in modo tale
che (come è logico supporre, visto il significato che vogliamo dare a
loro) tale numero intero sia anche risultato dell’operazione
41 – 66 oppure 25 – 50. Per ogni numero intero, allora,
è possibile “diminuire” unità per unità le due cifre
della sottrazione (per esempio: 12 – 37 –>
11 – 36 –> 10 – 35 e così
via) fino a ottenere una sottrazione del tipo a – 0
oppure 0 – b: i numeri del primo tipo vengono indicati
semplicemente con a (e in effetti si comportano esattamente come i
numeri naturali) e quelli del secondo tipo vengono indicati con –b:
il risultato dell’operazione 12 – 37 si indica allora con -15.
I numeri del primo tipo si dicono interi positivi e sono
essenzialmente confondibili con i numeri naturali; quelli del secondo tipo si
dicono interi negativi e si possono pensare come ciò che si
è “aggiunto” ai numeri naturali per ottenere i numeri interi.
La seconda direzione
è quella dei numeri razionali assoluti, che si ottengono
essenzialmente considerando i risultati di tutte le possibili divisioni tra
numeri naturali. (Rapida parentesi: è molto dibattuta tra i
matematici l’opportunità di includere o meno lo zero tra i numeri
naturali. Se si decide che lo zero fa parte dei numeri naturali, allora per
costruire i numeri razionali assoluti bisogna considerare soltanto le
divisioni con divisore diverso da zero). Ancora una volta, si comprende che
moltiplicando entrambi i termini di una divisione per uno stesso numero
diverso da zero il risultato della divisione non cambia, cioè che il
risultato di 36 : 24 è lo stesso di 12 : 8.
Grazie al fatto che ogni numero naturale può essere fattorizzato in
modo unico, all’esistenza del massimo comune divisore tra due numeri naturali
e a qualche altra proprietà dei numeri naturali stessi, si ragiona
allora in questo modo. Data la divisione a : b, si
calcola il MCD d tra a e b. Sarà allora
possibile trovare due numeri p e q tali che
a = pd, b = qd; in questa
situazione, il MCD tra p e q sarà per forza 1. Il
risultato dell’operazione a : b si indica allora
(in forma “ridotta ai minimi termini”) con p / q:
per esempio, il risultato dell’operazione 36 : 24 si indica con
3 / 2. I risultati delle divisioni il cui dividendo è
multiplo del divisore sono del tutto confondibili con i numeri naturali:
anche se non hanno un nome particolare in quanto numeri razionali, le
frazioni corrispondenti si dicono “frazioni apparenti”. Si può quindi
pensare ai numeri razionali assoluti e non “apparenti” come ciò che si
è “aggiunto” ai numeri naturali per ottenere i numeri razionali
assoluti.
Non è difficile
verificare che procedendo nella prima direzione non si è risolto il
problema della divisione (12 : 5 continua a non avere significato
neanche nei numeri interi) e che, allo stesso modo, procedendo nella seconda
direzione non si è risolto il problema della sottrazione
(5 – 8 continua a non avere significato neanche nei numeri
razionali assoluti). Per risolvere questo problema, si applicano ai
razionali assoluti lo stesso metodo usato per costruire gli interi a partire
dai naturali, oppure agli interi lo stesso metodo usato per costurire i
razionali assoluti a partire dai naturali: in entrambi i casi si
raggiungerà lo stesso sistema di numeri, che viene detto insieme dei
numeri razionali (o razionali relativi, per sottolineare la
differenza con i razionali assoluti). Tutte le sottrazioni e tutte le
divisioni con cifre razionali (e divisore diverso da zero) hanno un risultato
razionale. Ancora una volta potremo distinguere frazioni positive o negative
(a seconda che si possano scrivere come
p / q – 0 oppure
0 – p / q con
p / q razionale assoluto) così come frazioni
apparenti (quelle il cui risultato è intero).
Ai numeri razionali
manca però ancora una caratteristica importante: la capacità di
“descrivere la realtà”, cioè di misurare le grandezze fisiche.
È stato scoperto infatti già dalla scuola pitagorica che la
misura della diagonale di un quadrato è un multiplo non razionale
della misura del lato. Si rende quindi necessario costruire un nuovo sistema
di numeri, i numeri reali, che contengano in qualche modo i numeri
razionali e siano in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta.
Anche la costruzione dei numeri reali esula forse dallo scopo di questa
lettera; ciò che basta dire è che il sistema dei numeri reali
esiste e contiene al suo interno alcuni numeri particolari che possono essere
identificati con i numeri razionali. Si può allora pensare che i
numeri rimanenti siano quelli che devono in qualche modo venire “aggiunti” ai
numeri razionali per ottenere i numeri reali: tali numeri vengono detti
irrazionali (cioè, appunto, non razionali).
Nei numeri reali non
è però possibile risolvere tutte le equazioni polinomiali. Per
esempio, l’equazione x2 + 1 = 0 non ha
nessun risultato reale. Si definiscono allora i numeri complessi, che
essenzialmente sono numeri della forma a + ib dove
a e b sono numeri reali e i è un ente matematico
che si decide di considerare un numero “arbitrario” tale che
i2 = -1. È possibile dimostrare che questo
sistema di numeri è algebricamente chiuso, cioè tale che
ogni equazione polinomiale a coefficienti complessi ammette almeno una
soluzione complessa (e quindi, per conseguenza del il teorema di Ruffini,
ammette un numero di soluzioni complesse pari al suo grado). I numeri della
forma 0 + ib si dicono “immaginari puri”, mentre quelli
della forma a + i0 si dicono ancora “reali”. Si noti bene
che però i numeri immaginari non sono quelli che devono essere
“aggiunti” ai reali per ottenere i complessi, perché un numero come 2
+ 5i, che è senz’altro un numero complesso, non è né
reale né immaginario.
Esiste ora un’ulteriore
distinzione, che non riguarda più i sistemi di numeri ma soltanto una
proprietà dei numeri stessi: quella tra i numeri algebrici e
trascendenti. Si dice algebrico un numero (reale o complesso)
che sia soluzione di un’opportuna equazione polinomiale a coefficienti
interi. Così, per esempio, la radice quadrata di due o la radice
quinta di sette sono numeri algebrici, perché sono soluzioni
rispettivamente delle equazioni
x2 – 2 = 0 e
x5 – 7 = 0; numeri come e o pi
greco, invece, non sono soluzioni di equazioni a coefficienti interi (anche
se questa affermazione è decisamente complicata da dimostrare; si
veda, per esempio http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=8711)
e quindi sono numeri trascendenti. Si noti in particolare che un numero
reale trascendente deve per forza essere irrazionale, perché ogni
numero razionale della forma p / q è
soluzione dell’equazione qx – p = 0 ed
è quindi forzatamente algebrico. In particolare, allora, anche e e
pi greco devono essere numeri irrazionali.
Il lettore chiede poi se
esistono anche numeri “non complessi”, ma la risposta a questa domanda
è tutt’altro che univoca, dato che dipende dal senso che si conviene
di dare al concetto di “numero”. In matematica esistono moltissimi insiemi,
dalle strutture più varie, sui quali è possibile definire
operazioni del tutto analoghe alla somma e al prodotto “ordinari”; alcuni di
tali insiemi (il campo dei quaternioni, per citarne uno) contengono i numeri
complessi e quindi potrebbero essere pensati in effetti come un’estensione di
questi ultimi. In generale, comunque, il concetto di “numero” è
collegato al problema della misura delle grandezze e quindi alle scienze
applicate, a cominciare dalla fisica: da questo punto di vista, non è
necessario adottare sistemi di numeri più ampi di quello dei numeri
complessi, dal momento che questi ultimi (come abbiamo detto) bastano per
effettuare tutte le operazioni che sono necessarie.