lim di x che tende a xo di f(x) – f(xo) fratto (x-xo) è una formula per trovare la derivata prima di una semplice funzione non fratta? In caso a cosa serve questa formula? grazie

La formula riportata è la definizione di derivata prima, per cui la sua utilità direi che è di estrema importanza teorica.

Data una funzione f: (a,b) -> R e x0 ∈ (a,b), allora si dice derivata prima in x0 il valore finito (se esiste) del limite per x->x0 del rapporto incrementale [f(x)-f(x0)] / (x-x0).
Tale formula quindi rappresenta la definizione di derivata in un punto, e non si applica solo a funzioni “semplici” (per altro non meglio precisata) bensì ad ogni funzione.
Va da sè che in esercizi uno non usa praticamente mai tale formula, ma spesso è possibile usare le regole del calcolo differenziale. Ad esempio per calcolare la derivata prima della funzione x2+4x non viene utilizzata la definizione, ma il Teorema che dice che la derivata di una somma è la somma delle derivate; sapendo che la derivata prima di x2 è 2x e che la derivata prima di 4x è 4, allora si ha che la derivata della funzione proposta vale 2x+4.

I casi in cui occorre invece usare la formula della definizione sono i caso in cui non sono applicabili i Teoremi di calcolo, ovvero quando non si sa a priori se la funzione è derivabile. Ad esempio sia data la funzione che vale x2 sen(1/x) per x ≠0 e 0 in x=0; allora si ha [f(x)-f(0)]/x=x sen(1/x) che tende a 0 per x->0. Ne segue che la funzione data è derivabile in x=0 con ivi derivata 0. Non era possibile però applicare in tal caso le regole di calcolo, non essendo chiaro a priori se la funzione fosse derivabile o no in x=0.