So che i veicoli spaziali che entrano nella atmosfera terrestre devono avvicinarsi secondo un preciso angolo, altrimenti rimbalzerebbero contro gli strati superiori dell’atmosfera, o al contrario verrebbero distrutti dal calore. Domando:da quali grandezze dipende questo angolo esiste una formula per calcolarlo?

Esiste naturalmente un modo per calcolare l’angolo di rientro ottimale di un veicolo, ma dipende da grandezze ingegneristiche quali la forma del veicolo e il suo coefficiente d’attrito con l’atmosfera (il quale a sua volta dipende dalla densità dell’atmosfera e dunque dall’altitudine). Dunque non è di semplice derivazione.
Si possono però fare alcune considerazioni preliminari e alcuni calcoli semplificati.

Tanto per cominciare, come ha giustamente sottolineato il lettore, se l’angolo di rientro è troppo piccolo, il veicolo rimbalza sull’atmosfera e si perde nello spazio. Questo fatto è in parte controintuitivo e ne vedremo tra breve la dimostrazione.
Anche un angolo troppo elevato è altrettanto dannoso, infatti quanto più il veicolo rientra “perpendicolarmente” tanto più subisce un brusco frenamento. Questo ha almeno due effetti: il primo è che con decelerazioni superiori ai 10g si possono avere malesseri e perdita di coscenza degli astronauti e oltre i 20g c’è pericolo di morte; inoltre una dissipazione di energia così violenta, oltre che mettere a repentaglio l’integrità strutturale del veicolo, ne provoca un surriscaldamento eccessivo, con conseguenze sia sui macchinari che sull’equipaggio. Il veicolo è infatti progettato per dissipare una quantità massima di calore, da cui un angolo di rientro massimo da non superare.

Vadiamo di fare due conti:
Il veicolo in rientro nell’atmosfera, con una velocità v, che si trova ad una quota h sopra la superficie terrestre, possiede un’energia cinetica pari a 1/2Mv2, dove M è la massa del veicolo, e un’energia potenziale Mgh(1+h/R) dove R è il raggio della Terra e g l’accelerazione di gravità. Nei nostri calcoli, siccome l’atmosfera si estende per poche decine di kilometri mentre il raggio terrestre è maggiore di 6000 Km, si ha che h/R << 1 e dunque l’energia potenziale si può approssimare con Mgh.
In assenza di frenamento, la somma di queste due energie sarebbe costante, mentre il frenamento atmosferico provoca una dissipazione di energia in calore. In presenza di una forza F operata dall’atmosfera, la potenza dissipata è P=Fv (trattandosi di attrito, è proporzionale alla velocità, e l’assumeremo negativa essendo potenza persa dal sistema).
Uguagliamo dunque le potenze in gioco, ricordando che la potenza è la derivata prima dell’energia rispetto al tempo:
-Fv = Mvv’+ Mgh’
dove le grandezze con apice sono derivate prime rispetto al tempo.

Osservando la figura, si vede che l’angolo di rientro α, rispetto alla verticale, è legato dalla relazione
sin(α)=-h’/v
dove il segno negativo indica la perdita di quota.

da cui per sostituzione si ricava la relazione
v’= g sin(α) – F/M

dove v’ è l’accelerazione subita dal veicolo, ed è normalmente negativa, perché il veicolo delecera durante il rientro.
Ora, la condizione da rispettare è di tenere v’ negativa ma prossima a zero, in modo che si abbia un frenamento “morbido”. Da notare che, in alta quota, dove F è molto bassa perché l’atmosfera è rarefatta, è possibile ottenere anche v’>0, con conseguente accelerazione del veicolo. Se ora l’angolo alfa è abbastanza basso, all’accelerazione subita non corrisponde una sufficiente perdita di quota e penetrazione negli strati più densi dell’atmosfera, per cui il veicolo tende a “schizzare via”.
Per “schizzare via” non intendo però un vero e proprio rimbalzo, che si avrebbe se il veicolo impattasse una discontinuità con un fluido molto denso (effetto simile al sasso che rimbalza sull’acqua), quanto piuttosto ad attraversare un sottile strato di atmosfera rarefatta e poi uscirne dall’altra parte, praticamente non rallentata. A questo punto, in funzione della sua velocità, la navicella si potrebbe perdere nello spazio o rientrare successivamente, dopo aver compiuto un’orbita, secondo una traiettoria difficilmente prevedibile e comunque incontrollabile.

Altrettanto dannoso è avere v’ negativa ma troppo grande, in quanto, per come visto, si mettono a repentaglio sia il veicolo che i suoi occupanti. Quale sia il limite tollerabile è una scelta di progetto, pur tenendo sempre presenti i limiti fisiologici degli astronauti.

Nella formula, come si vede, gioca un ruolo fondamentale il parametro F, che è la forza di frenamento subita dal veicolo.
A sua volta essa dipende dalla forma del veicolo stesso e dalla superficie che presenta all’atmosfera, dipendente a sua volta anche dall’orientazione del veicolo rispetto al suo moto (detto angolo di attacco, da non confondere con l’angolo di rientro alfa); perciò F va calcolata in funzione del veicolo stesso. Essa può essere variata anche cambiando l’inclinazione rispetto al moto; per esempio negli Shuttle, che hanno una “pancia” praticamente piatta, si sa che l’angolo di attacco ottimale è di circa 55°.
F, come detto, dipende anche dalla densità dell’atmosfera, e dunque dalla quota.