Un paradosso di relatività. Uno sciatore ha gli sci lunghi quanto un buco nel terreno. Se va a velocità relativistica, vede il buco contrarsi e quindi non può finirci dentro. Ma il buco vedrà gli sci contrarsi e quindi lo sciatore ci cadrà dentro! Lo sciatore cade nel buco oppure no?

Il paradosso proposto nella domanda è una versione “invernale” del cosiddetto paradosso dell’asta, una delle obiezioni che già all’epoca furono opposte ad Einstein per criticare la coerenza della sua interpretazione delle trasformazioni di Lorentz. Dalla sopravvivenza della Teoria della Relatività fino ai nostri giorni si intuisce che questo paradosso è stato risolto senza eccessive difficoltà.

Per capire per bene come funzioni questo problema mettiamoci nel caso generale in cui la buca sia appena più corta di n volte la lunghezza degli sci (S0). Per semplificare la trattazione matematica immaginiamo che la forza di gravità agisca in un modo un po’ diverso dal solito: un corpo si muove di moto rettilineo finché sente un qualche appoggio sotto di sé, altrimenti cade verticalmente. In realtà bisognerebbe tenere conto del moto del centro di massa, per cui lo sciatore potrebbe cadere nella buca anche se parte della punta o della coda degli sci sono ancora appoggiati al bordo della buca. Ma considerare questa eventualità più realistica rende solo più complessi i calcoli senza aggiungere nulla alla comprensione della soluzione dell’apparente paradosso.

Quando un oggetto si muove a velocità v la sua lunghezza si contrae da L0 (lunghezza da fermo) a

Per non cadere nella buca è sufficiente che lo sciatore si muova ad una velocità tale che la lunghezza della buca si contragga ad un suo n-mo. In tal modo nel suo sistema di riferimento la buca (di lunghezza propria appena al di sotto di nS0) si muove verso di lui ad alta velocità e quindi, dal suo punto di vista, essa si contrae al di sotto della lunghezza degli sci ed egli riesce a superare la buca senza problemi, dato che la punta degli sci si appoggia aldilà della buca prima che la coda degli sci abbandoni la soglia della buca. Per fare questo è sufficiente che la velocità sia

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Ora se ci mettiamo dal punto di vista di un osservatore solidale con la buca il discorso sembra non reggere più. In questo sistema di riferimento la buca è sempre lunga appena al di sotto di nS0, mentre gli sci si contraggono fino alla lunghezza di S0/n. Come è possibile allora che lo sciatore non cada nella buca?

Sembra di trovarsi di fronte ad un paradosso: se effettivamente la contrazione delle lunghezze è un fenomeno con una realtà fisica sembra che due osservatori diversi vedano accadere due eventi diversi a partire dalla stesse condizioni iniziali.

In realtà questo paradosso appare solo perché stiamo trascurando un dettaglio molto importante che bisogna tenere presente in Relatività Ristretta: un evento può essere influenzato solo da quegli eventi passati da cui è possibile inviare un raggio luminoso all’evento da influenzare. Se due eventi A e B sono troppo ravvicinati nel tempo o troppo distanziati nello spazio da non permettere che un raggio di luce parta da A e giunga in B allora questi eventi non possono influenzarsi.

In particolare, nel caso in esame è giusto osservare che, nel sistema di riferimento della buca, quando la coda degli sci abbandona la soglia della buca la loro punta deve ancora appoggiarsi all’altro bordo, ma il moto della punta degli sci (e a ritroso quello degli altri punti dello sciatore) non può essere influenzato dal mancato appoggio finché qualche segnale non la raggiunge con l’informazione che la coda ha perso l’appoggio.

Supponiamo, come ipotesi estrema, che tale segnale vada alla velocità c della luce (più veloce non può viaggiare), tuttavia questo segnale deve rincorrere la punta degli sci che si muove a velocità vn. Quindi questo segnale, nel sistema della buca, impiega un tempo pari a

per raggiungere la punta. Essa del frattempo procede nel suo moto rettilineo in avanti come se nulla fossa accaduto e quindi si avvicina al bordo della buca su cui dovrebbe appoggiarsi. Per raggiungerlo impiega un certo tempo che è facile da calcolare: è il tempo che ci vuole a percorrere una distanza di

(lunghezza buca ─ lunghezza sci nel sistema della buca)

con una velocità vn. Questo tempo è quindi

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È di immediata verifica che t2<t1 per qualunque valore di n.

Pertanto lo sciatore supera la buca anche dal punto di vista della buca.

Questo insegna un aspetto molto importante della Teoria della Relatività: gli eventi visti accadere da un osservatore devono essere visti accadere allo stesso modo da tutti gli altri osservatori, però osservatori diversi possono avere spiegazioni diverse per lo stesso evento.