Carissimi esperti,in problemi descritti da equazioni differenziali parziali, come si spiega che si arrivi alla soluzione nella regione di interesse solo dalla conoscenza della funzione al bordo? Grazie.

La risposta discende per analogia al caso ordinario; consideriamo per esempio l’equazione ordinaria y'(x)=0; allora tutte le soluzioni di tale equazione differenziale sono date da y(x)=c, con c costante reale. Quindi l’equazione ammette infinte soluzioni, dipendenti da un parametro (->equazione del primo ordine). Scegliendo dunque un dato iniziale, si arriva ad una sola soluzione; per esempio se impongo y(0)=2, l’unica soluzione è y(x)=2.

Per un problema del secondo ordine, per esempio, y”(x)=0, servono due condizioni iniziali. Infatti, tutte le soluzioni del problema dato sono y(x)=ax+b, con a,b costanti reali. Ad esempio possiamo imporre dato inziale su y(0) e su y'(0), ottenendo un problema di Cauchy; oppure possiamo imporre condizioni al bordo, ovvero diciamo quanto deve fare y(0) e y(1) e vogliamo la soluzione in (0,1), che sarà, in tal caso, la retta che congiunge i punti assegnati al bordo.

Per analogia il tutto si trasporta alle equazioni alle derivate parziali; uno assegna l’equazione, ad esempio, Δu=0, su un dominio piano Ω; tale problema del secondo ordine ammette infinite soluzioni, a meno di dare una condizione al bordo, ovvero assegnare u su ∂Ω. Si ottengono, in tal caso, le cosidette funzioni armoniche, con valore assegnato al bordo.