Indicando con lettere in grassetto i vettori, e con i, j e k, i versori ortonormali nelle direzioni X, Y e Z rispettivamente, poniamo B=Bk (campo magnetico uniforme nella direzione Z; componenti Bx e By nulle, Bz=B).
Un elettrone con carica q e velocità V è soggetto all’azione della forza di Lorentz
F = q(VxB) (dove con x si intende l’operazione di prodotto vettoriale).
Poichè F = ma (seconda legge della dinamica Newtoniana), dove a è l’accelerazione (a=dv/dt) risulta:
Eseguendo il prodotto vettoriale VxB, (con B=Bk), si ha VxB=B(Vyi-Vxj), da cui, eguagliando le componenti nella (1):
L’equazione (2c) ci dice che l’elettrone non è accelerato nella direzione Z.
Derivando la (2b) rispetto a t, otteniamo:
Cerchiamo una soluzione per Vy(t) della forma
(con k1 e k2 costanti da definirsi). Derivando l’espressione per Vy(t) risulta
che, sostituita nella (3), porta all’equazione
da cui: k2=±qB/m e
Sostituendo Vy(t) nella (2a) e integrando, si ottiene immediatamente
dove k3 è una costante d’integrazione. Ponendo Vx(0)=0 nella (4) (condizione iniziale: la componente della velocità nella direzione X, al tempo t=0, sia nulla), porta a k3=0.
Supponendo che Vz(0) sia nulla [questa condizione iniziale, insieme con la (2c) ci dice che il moto dell’elettrone sarà confinato sul piano XY], abbiamo che
dove si è indicato con V(0) il modulo della velocità con cui l’elettrone entra nel campo magnetico B all’istante t=0. Poichè Vx = dx/dt (e analoga definizione per la componente Vy), abbiamo
da cui:
con k4 e k5 costanti di integrazione. È conveniente porre le condizioni iniziali
da cui si ottiene k4=k5=0. Quadrando e sommando (5a) e (5b), otteniamo:
La (6) è l’equazione di una circonferenza nel piano XY, di centro (0,0) e di raggio R = V(0)m/qB.
Il rapporto q/m è dunque ricavabile misurando R e usando la formula