Salve, soo uno studente di ingegneria, studiando la fisica quantistica ho un dubbio che nn sono riuscito a risolvere neanche su diversi libri… La domanda è : “Come J. J. Thomson ricava il rapporto carica/massa, specificatamente in tutti i passaggi, in quanto sui libri ho trovato sempre e solo la formula finale.. grazie

Il rapporto q/m tra la carica e massa di un elettrone è misurabile dal raggio di curvatura della traiettoria descritta dalla particella entro un campo magnetico B.

Indicando con lettere in grassetto i vettori, e con i, j e k, i versori ortonormali nelle direzioni X, Y e Z rispettivamente, poniamo B=Bk (campo magnetico uniforme nella direzione Z; componenti Bx e By nulle, Bz=B).

Un elettrone con carica q e velocità V è soggetto all’azione della forza di Lorentz

F = q(VxB) (dove con x si intende l’operazione di prodotto vettoriale).

Poichè F = ma (seconda legge della dinamica Newtoniana), dove a è l’accelerazione (a=dv/dt) risulta:

dv/dt = q/m VxB        (1)

Eseguendo il prodotto vettoriale VxB, (con B=Bk), si ha VxB=B(Vyi-Vxj), da cui, eguagliando le componenti nella (1):

dVx/dt=q/m VyB         (2a)
dVy/dt=-q/m VxB        (2b)
dVz/dt=0               (2c)

L’equazione (2c) ci dice che l’elettrone non è accelerato nella direzione Z.

Derivando la (2b) rispetto a t, otteniamo:

d2Vy/dt2=-qB/m dVx/dt = -q2B2/m2Vy        (3)

Cerchiamo una soluzione per Vy(t) della forma

Vy(t)=k1exp (ik2t)

(con k1 e k2 costanti da definirsi). Derivando l’espressione per Vy(t) risulta

d2Vy(t)/dt2=-k1k22exp(ik2t)

che, sostituita nella (3), porta all’equazione

-k22+q2B2/m2=0

da cui: k2=±qB/m   e

Vy(t)=k1[exp(iqBt/m)+exp(-iqBt/m)]=2k1cos(qBt/m)

Sostituendo Vy(t) nella (2a) e integrando, si ottiene immediatamente

Vx(t)=2k1sin(qBt/m) + k3        (4)

dove k3 è una costante d’integrazione. Ponendo Vx(0)=0 nella (4) (condizione iniziale: la componente della velocità nella direzione X, al tempo t=0, sia nulla), porta a k3=0.

Supponendo che Vz(0) sia nulla [questa condizione iniziale, insieme con la (2c) ci dice che il moto dell’elettrone sarà confinato sul piano XY], abbiamo che

V(0) = Vx2(0)+Vy2(0) = 4k12 —> k1 = ±V(0)/2

dove si è indicato con V(0) il modulo della velocità con cui l’elettrone entra nel campo magnetico B all’istante t=0. Poichè Vx = dx/dt (e analoga definizione per la componente Vy), abbiamo

dx/dt = 2k1 sin(qBt/m)
dy/dt = 2k1 cos(qBt/m)

da cui:

x(t) = -V(0)m/qB cos(qBt/m) + k4       (5a)
y(t) = V(0)m/qB sin(qBt/m) + k5        (5b)

con k4 e k5 costanti di integrazione. È conveniente porre le condizioni iniziali

x(0)=-V(0)m/qB
y(0)=0

da cui si ottiene k4=k5=0. Quadrando e sommando (5a) e (5b), otteniamo:

x2(t) + y2(t) = V2(0)m2/q2B2         (6)

La (6) è l’equazione di una circonferenza nel piano XY, di centro (0,0) e di raggio R = V(0)m/qB.
Il rapporto q/m è dunque ricavabile misurando R e usando la formula

q/m = V(0)/BR      (7)

Il risultato finale [equazione (7)] dipende comunque dal particolare setting sperimentale utilizzato  (che implica la scelta di specifiche condizioni iniziali e al contorno). Il modo di operare è comunque valido in generale (fermo restando il quadro classico entro il quale si è trattato il moto dell’elettrone), vale a dire: si risolve l’equazione del moto  a partire dall’equazione (1).