Sono uno studente del liceo Scientifico Statale “A.Gatto” e vorrei avere un elenco completo e dettagliato sui prolemi irrisolti e sulle congetture riguardanti i numeri primi (anche a livello universitario).

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Numeri Primi

Essenzialmente dovuto alla  apparente
distribuzione casuale lungo l’insieme dei numeri
naturali, il  fascino dei numeri primi è
innegabile.
Il reperto più antico correlato ai numeri primi è
conservato al Museo di Storia Naturale di Bruxelles.
Sull'”Osso di Ishango” , datato circa
6500 a.C.,  sono raffigurate tre colonne con quattro
intagli. Una delle colonne ha 11, 13, 17 e 19 intagli.
Il primo risultato importante sui numeri primi è dovuto
ad Euclide che, più di duemila anni fa, ne ha dimostrato
l’infinità. Tale dimostrazione, tuttavia, non ha fornito
alcuna indicazione ulteriore sulla distribuzione dei
numeri primi lungo l’insieme dei naturali. Dal 1700 ad
oggi, i più grandi matematici della storia come Gauss,
Legendre, Rienmann, Dirichlet, Chebyshev e Hadamard hanno
studiato ed affrontato il problema della distribuzione
dei numeri primi.
Tutte le questioni e le congetture ancora aperte oggi,
quindi, sono incentrate su questo problema. L’elenco
delle congetture che segue non è certamente 
“completo e dettagliato”, ma illustra le
congetture “più forti” ancora irrisolte.

 

Definizioni e Proprietà

Definizioni

  • Divisore: Siano n , m  numeri
    naturali, m è detto divisore di n
    se e solo se esiste un numero naturale q
    tale che q = n/m
  • Numero Primo: Un numero naturale n
    è primo se ha come unico divisore 1
  • Numero Composto: Un numero naturale non
    primo è detto composto.
  • Numeri Relativamente Primi: Siano n , m 
    numeri naturali, sono detti relativamente
    primi     se e solo se hanno come unico divisore
    comune 1
  • Numeri Primi Gemelli:  Due numeri
    primi p e q sono detti gemelli 
    se e solo se p-q = 2. Esistono infinite
    coppie di primi gemelli, come 3 e 5, 5 e 7, 11 e
    13. Nel 1919 Brun ha dimostrato che la somma dei
    reciproci delle infinite coppie di primi gemelli
    converge ad una costante detta, appunto, Costante
    di Brun     B = 1.902160577783278.

Proprietà

  • Teorema Fondamentale dell’Aritmetica: Ogni
    numero naturale positivo n è primo o
    composto
  • I numeri primi sono infiniti (Euclide, 300
    a.C.)
  • Teorema dei Numeri Primi : Sia pi(n) il
    numero di primi minori o uguali a n. Il
    Teorema dei Numeri Primi asserisce che pi(n) ~
    n/log n.     Il teorema  implica tre fatti
    importanti:

    1. l’n-mo numero primo è circa
      uguale ad n*log(n).  (oss: il
      logaritmo è naturale, in base e).
    2. si può approssimare pi(n) con
      n/(log n -1)
    3. la probabilità che un numero naturale
      positivo  n sia primo è pari a 1/log(n)

Congetture sui Numeri Primi

Congettura di Goldbach:  Per ogni
numero pari n>2, esistono due numeri primi
(non necessariamente distinti) p e q tali che n =
p+q

La forma originale della congettura era stata inviata
da Goldbach ad Eulero nel 1742, ipotizzando che ogni numero pari maggiore di 5 fosse scrivibile
come somma di tre numeri primi. Eulero ha
dimostrato l’equivalenza di questa ipotesi alla
congettura iniziale.

Problema di Goldbach sui Numeri Dispari: Per
ogni numero dispari n > 5, esistono tre numeri
primi (non necessariamente distinti) p, q, r tali
che n = p+q+r.
La ricerca attuale sui numeri primi ha risolto
(Chen e Wang, 1989)  il problema di Goldbach
per n > 1043000 .
Ogni numero dispari è scrivibile per
differenza di due numeri primi: Per ogni
numero dispari n, esistono due numeri primi p e q
tali che n = p-q.
Congettura formulata da Chen nell’esame del
Problema di Goldbach.
Congettura dei Numeri Primi Gemelli: Esistono
infiniti numeri primi gemelli

Ogni
numero pari è ottenibile come differenza di
infinite coppie di numeri primi consecutivi: Per
ogni n pari, esistono infiniti numeri primi
consecutivi p e q tali che n = p-q.
Questa congettura (Polignac, 1849) è una
generalizzazione della congettura dei primi
gemelli, che si ottiene ponendo n=2.

Esistono infiniti primi p tali che p = n2+1
, per ogni n?

Esistono infiniti primi q tali che q = 2p-1
, ove p è primo?

Esistono infiniti primi p tali che p = 22n+1
, per ogni n?

Esiste sempre un numero primo tra due
quadrati perfetti consecutivi ? Per ogni n,
esiste sempre un numero primo p tale che n2<
p <  (n+1)2?

Esiste sempre un numero primo tra due
quadrati perfetti consecutivi ? Per ogni n
> 1, esiste sempre un numero primo p tale che n2<
p <  (n2+n)?

Congettura di Opperman: pi(n2+n)
> pi(n2) > pi(n2–n)
(n>1).
Questa e la congettura precedente sono
automaticamente dimostrate qualora si provi che
la differenza tra un  numero primo p ed
il successivo tende alla costante (log p)2.

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Sui
Numeri Primi – risposta di Daniela Nasi e Luca Fini
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