Avventurandomi nella dimostrazione delle proprietà dei limiti, non sono riuscita né a trovare né a dimostrare il teorema secondo il quale il limite del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei limiti delle singole funzioni. Mi potete aiutare (anche indicandomi un testo idoneo alla mia richiesta)? Grazie.

Per
dimostrare che il prodotto dei limiti di due funzioni reali di variabile
reale è pari al prodotto dei limiti delle singole funzioni occorre
fare un passo indietro e dimostrare il teorema analogo per le successioni.

Siano due successioni reali:

a1, a2,
.., an

e

 

b1, b2,
.., bn

e si indichino tali successioni con {an}
e {bn}, rispettivamente. Si supponga inoltre che le successioni
siano convergenti, ovvero che tendano a due valori finiti a
e b, rispettivamente:

,

L’ipotesi di convergenza delle successioni
implica la validità del seguente

Teorema

Ogni successione convergente è limitata [1]

ovvero, se {an} è una successione
convergente, per cui vale ,
allora ogni suo elemento deve essere finito e cioè esiste un numero
finito arbitrariamente grande A per cui

ovvero A è il maggiorante di
tutti gli elementi della successione {an}; quando ciò
accade la successione è detta limitata.

A questo punto possiamo dimostrare il seguente

Teorema

Siano {an} e {bn}
due successioni convergenti, allora

Osservazione:

l’enunciato del teorema è più
vasto, ed estende questa proprietà anche alla somma, rapporto e
valore assoluto di successioni.

Dimostrazione:

Il teorema [1] assicura la limitatezza di entrambe
le successioni {an} e {bn}, in altri termini esistono
due numeri finiti A e B che maggiorano le due successioni,
rispettivamente. Possiamo quindi scegliere un terzo numero M che
sia maggiore di A e di B e che maggiori, quindi, entrambe
le successioni.

Per la definizione di limite, la convergenza
di una successione {an} implica che

per n arbitrariamente grande ed e
piccolo a piacere; vogliamo quindi provare la convergenza del prodotto
delle successioni, ovvero dobbiamo arrivare a dimostrare che

ovvero il modulo della differenza tra il prodotto
delle successioni ed il prodotto dei loro limiti sia minore di un valore
e , piccolo a piacere.

Aggiungiamo e sottraiamo il termine anb
:

fattorizziamo ed applichiamo la disuguaglianza
triangolare del modulo (
)

 

applichiamo la proprietà di limitatezza
delle successioni

[2]

ma, essendo le successioni {an}
e {bn} convergenti, ovvero

,

applichiamo alla [2] ed otteniamo

da cui segue la tesi, perché il termine
2Me è piccolo a piacere.

ª

Dimostrato il teorema per le successioni, il
passaggio ai limiti di funzione è estremamente semplice:

Teorema

Siano funzioni
reali di variabile reale per cui si abbia:

,
,

allora

 

 

Osservazione:

l’enunciato del teorema è più
vasto, ed estende questa proprietà anche alla somma, rapporto e
valore assoluto di funzioni.

Dimostrazione:

Si prenda una successione qualsiasi {an}
che converga ad x0, dalle ipotesi del teorema segue
che

,

ma, dal teorema precedente si deduce che

e, dalla convergenza della successione {an}
ad x0, segue la tesi.