Per qualsiasi risonatore, il fattore di qualità o di merito è definito
(a meno di un fattore 2) come il rapporto tra la frequenza di oscillazione
libera e la parte reale dei poli che caratterizzano il risonatore stesso.
In un circuito RLC parallelo puoi velocemente calcolare che l’impedenza
caratteristica è data da:
da cui si deduce che la frequenza di oscillazione è
ed il fattore di qualità vale
Per il calcolo di questi valori, puoi procedere risolvendo in S il denominatore
di Z e tenendo presente che w 0
è il modulo dei due numeri complessi e coniugati che ottieni, mentre la
loro parte reale vale
In alternativa, per velocizzare i conti, ti basta uguagliare la suddetta
equazione ad una in forma generale espressa come:
ed ricavando il valore dei parametri uguagliando ad uno ad uno i termini
di grado 0, 1 e 2.
Dalla definizione di Q, e ricordando che la parte reale dei poli rappresenta
un termine di smorzamento, se ne deduce che il circuito è un oscillatore
tanto migliore quanto più grande è il suo fattore di qualità. Da un punto
di vista circuitale significa che il componente attivo che dovrà eccitare
l’oscillatore potrà avere guadagno minore se si riesce ad ottenere un
Q grande; inoltre anche l’ampiezza di banda è tanto più stretta quanto
più Q è alto (e dunque l’oscillatore è stabile).
Si tende dunque a rendere R grande per quanto possibile (in pratica non
si mette alcuna resistenza, per cui R risulta solo il parassita degli
altri componenti), mentre il rapporto L/C piccolo. Tutto ciò naturalmente
entro i limiti tecnologici, nonché di occupazione di spazio e di peso
che si vogliono imporre. Infatti, sia per L che per C molto grandi non
diventa più trascurabile la loro resistenza serie, per cui nel calcolo
è necessario far rientrare una RL ed una RC in serie
ai due componenti.
In tal caso, ripetendo i conti, con R=0, si vede che
e
risultato quanto meno curioso, in quanto appare come, tenendo conto dei
parassiti, appaia la necessità di rendere il rapporto L/C grande.
In pratica, siccome RL ed RC dipendono anche loro
da L e C in modo non banale, a seconda della qualità e della realizzazione
dei componenti, la strategia di progettazione opera come di seguito:
- Il progetto impone una w 0 ed
una Q da ottenere, il che impone 2 vincoli al sistema - Abbiamo 3 gradi di libertà nella scelta dei componenti (R, L e C),
il che ci consente di scegliere liberamente il valore assoluto di C
ed L, in modo da potersi considerare trascurabili o sufficientemente
bassi i parassiti serie e parallelo.
Dovendo ora realizzare un’induttanza del valore L opportuno (a meno che
tu non l’acquisti già del valore desiderato), ti dovrai procurare un opportuno
“core” di materiale ferromagnetico, attorno al quale avvolgere
un numero N di spire, in modo da ottenere la L desiderata. Di tale nucleo
dovrai conoscere i parametri fisici fondamentali, presenti su opportuni
data-sheets; si tende ad usare di solito un toroide ferromagnetico, in
quanto la forma ad anello convoglia il flusso magnetico e rende più semplice
il calcolo dell’induttanza ottenuta.
Ti ricordo a tal fine che la permeabilità magnetica m
di un materiale è il rapporto tra i campi B ed H, e che essa non è costante:
al crescere di H, B tende a saturare in quanto c’è un valore di induzione
limite quando tutti i dipoli magnetici del materiale si allineano col
campo imposto.
Benché dunque dal punto di vista puramente teorico si sappia che
dove l è la lunghezza di un tratto di circuito magnetico, A la sua sezione
e m la sua permeabilità magnetica, e dunque
in un toroide di sezione A e lunghezza l (l=2p
r con r raggio del cerchio) sia semplicemente
in pratica il calcolo non avviene in questo modo, in quanto m
può variare sensibilmente al crescere della corrente che scorre nel filo
e dunque del campo magnetico H imposto al nucleo stesso.
Un data-sheet di un nucleo ferromagnetico riporta solitamente il valore
L equivalente a N=1000 spire (L1000), il valore di B/NI per
H=0 (con I corrente imposta) e la curva di magnetizzazione B/H del materiale.
Dal primo dato, noto che Lµ N2,
si ricava che
che è la prima stima di N.
A questo punto si calcola il campo
approssimato che ci si aspetta di trovare nel nucleo, in funzione della
corrente I prevista e della prima stima di N fornita dal passaggio precedente.
Infine, sulla curva di magnetizzazione si legge la percentuale di saturazione
che ci si aspetta per la H calcolata, e si aggiunge un numero di spire
N2 tale da compensare la diminuzione di L prevista. Se N2
è sensibilmente minore di N1, la N cercata è in ottima approssimazione
N1+N2, viceversa si dovrà reiterare il procedimento.