Esiste una dimostrazione del fatto per cui tutti i numeri multipli di tre hanno la somma delle cifre pari a tre o a un suo multiplo?

Il criterio di divisibilità per 3 dice che un numero naturale n è divisibile per 3 se e solo se la somma delle sue cifre, in base 10, è un numero divisibile per 3. La dimostrazione di questo fatto elementare si ottiene facilmente conoscendo la teoria delle classi di resto.

Dati tre numeri naturali n, m e p si dice che n=m (mod p) se n ed m hanno lo stesso resto se divisi per p; ad esempio 4=1 (mod 3). Un numero naturale n è quindi divisibile per 3 se e solo se n=0 (mod 3). Sia

n=rh 10h+…+r1 10+r0

la rappresentazione del numero n in base 10. Si osservi che per ogni h naturale si ha 10h=1 (mod 3); ne segue, grazie a facili proprietà delle congruenze lineari, che

 

rh 10h+…+r1 10=rh +…+r1 (mod 3).

 

Allora rh 10h+…+r1 10+r0=rh+…+r1+r0 (mod 3) per cui n=0 (mod 3) se e solo se rh+…+r1+r0 (mod 3), che conclude la dimostrazione.