Vorrei sapere che cos’è un tensore e perchè il campo gravitazionale è detto campo tensoriale. Grazie.


Prima di tutto una premessa, che potrebbe apparire superflua ma non lo è. Ci sono varie definizioni possibili di tensore, da quelle più astratte a quelle “pratiche”. Nello spirito di vialattea cercherò di aderire il più possibile all’ultima categoria.

Fisica, coordinate, e Relatività

Il concetto di tensore è la generalizzazione di concetti quali vettori e matrici, e permette, in fisica, di scrivere equazioni che dipendono solo da quantità fisiche. In particolare le equazioni cosiddette tensoriali non dipendono dalla scelta delle coordinate. Esempi di tensori molto usati in fisica generale sono il tensore di inerzia nella meccanica del corpo rigido, o il tensore degli sforzi nella meccanica dei mezzi continui (elastici, fluidi, etc.). E ovviamente i tensori che si usano in Relatività Generale.

In particolare in quest’ultimo campo, il concetto di indipendenza dalle coordinate assume un ruolo fondamentale. Le coordinate (in termini piuttosto informali) delle funzioni di “supporto” che vengono utilizzate per identificare un punto nello Spazio-Tempo, come delle etichette.

La Gravitè (nel paradigma della Relatività Generale) è la Geometria dello Spazio-Tempo (talvolta detto Cronotopo), per cui le equazioni che riguardano la dinamica gravitazionale non possono dipendere dalle coordinate, che non sono “intrinseche” allo Spazio-Tempo stesso. Da qui la necessità di usare i tensori nella formulazione della teoria.

In particolare in Relatività Generale si usano

  • il tensore di curvatura, che descrive il modo in cui la Gravità tende a far contrarre o espandere una distribuzione di materia (ad es. una nuvola di polvere)
  • il tensore metrico, che misura il tempo in un sistema di riferimento non vincolato, cioè in caduta libera (come l’ascensore di Einstein: vedi ad es. [2])
  • il tensore energia-impulso della materia, che viene ereditato dalla teoria dei campi, descrive la densità di energia e il flusso di impulso e di momento angolare della materia (particelle, atomi, molecole, etc.) in ogni punto dello Spazio, ad ogni istante

Questi sono i principali tensori con i quali si scrivono ad esempio le celeberrime equazioni di Einstein (vedi ad es. [1], o [3], ma si può trovare tantissimo materiale in rete e nelle librerie). La quantità dinamica che rappresenta la Geometria dello Spazio-Tempo è (essenzialmente) rappresentata dal Tensore di Curvatura. È per questo che si dice che il campo gravitazionale è un campo tensoriale.

Possiamo passare ad una descrizione più dettagliata: il lettore che non sia ancora soddisfatto dalla prima parte della risposta troverà una introduzione “pratica” ai concetti accennati. Nel seguito verrà impiegata una “modica dose” di Matematica, l’assunzione della quale non mette a rischio lo svolgimento di una normale vita sociale, e, a differenza di altre pratiche, non reca effetti collaterali.

Trasformazioni di coordinate e quantità fisiche

Partiamo dal concetto di coordinate (di importanza primaria per questa trattazione “non completamente astratta”). Ci limiteremo al caso importante di coordinate reali.

L’espressione “stabilire (o definire) un sistema di coordinate” per i punti nello spazio (per es. in una stanza) significa definire una funzione che per ogni punto dello spazio assegna un insieme di N numeri reali che sono detti “le coordinate del punto”.

Ad esempio per ogni punto su un piano si possono associare due numeri reali che sono le distanze del punto da due rette non parallele fissate. È terminologia comune chiamare questo un piano cartesiano, in particolare quando le due rette sono ortogonali (formano 4 angoli retti alla loro intersezione). Queste rette vengono anche dette “assi cartesiani”. Le coordinate verranno sempre indicate come una multipla di numeri: per esempio su un piano avremo una coppia di numeri. Sinteticamente scriveremo anche <img src=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i1.gif”/> per indicare la multipla di coordinate del punto <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i2.gif”/>.

Allora per esempio prendiamo su un tale piano un punto <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i3.gif”/> di coordinate
<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i4.gif”/>. Se noi ruotiamo gli assi in modo da mantenere invariati il loro punto d’incontro e gli angoli che formano, otteniamo un nuovo sistema di coordinate, in generale diverso dal precedente. Adesso misuriamo le distanze del punto <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i3.gif”/> dai due nuovi assi, e otteniamo una nuova coppia di coordinate che chiamiamo <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i5.gif”/>. Si può calcolare dai dati del problema la relazione tra le vecchie e le nuove coordinate: è un esempio semplice di “trasformazione di coordinate”. In generale si può scrivere la relazione

<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i6.gif”/>

laddove <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i7.gif”/> indica tale trasformazione. Nella nostra notazione indicheremo con <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i7.gif”/> anche la trasformazione delle funzioni.

Adesso possiamo introdurre il concetto di funzione scalare:

Def.: 1 (Scalare)
Una funzione scalare (o semplicemente uno scalare) su un certo spazio <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i8.gif”/> è una assegnazione di un numero reale (o complesso) ad ogni punto di <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i8.gif”/>:

<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i9.gif”/>

e tale che per una trasformazione di coordinate

<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i10.gif”/>

si trasforma come

<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i11.gif”/>

Un esempio di scalare è per esempio la temperatura locale all’interno di una stanza: se stabiliamo un sistema di assi cartesiani all’interno della stanza e misuriamo la temperatura in tutti i punti otteniamo una funzione reale positiva <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i12.gif”/>. Adesso ruotiamo il sistema di assi cartesiani in modo che un punto che prima aveva coordinate
<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i13.gif”/> adesso abbia coordinate
<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i14.gif”/>. La temperatura nel punto <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i2.gif”/> ovviamente, essendo una grandezza fisica, non deve cambiare solo perché abbiamo ruotato il sistema di coordinate, cioè
(B

<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i15.gif”/>

Bisogna avere chiaro che il punto in cui si misura la temperatura è sempre lo stesso, cambiano solo le coordinate, ovvero le “etichette”, per così dire che assegnamo ad ogni punto per identificarlo. E di conseguenza nel registrare le nostre misurazioni terremo conto di questo “rietichettamento”.

Molte quantità fisiche, però, non possono essere descritte da funzioni scalari. Un esempio di questo è la velocità di un fluido. Supponiamo di volere descrivere, nella nostra stanza, oltre alla temperatura dell’aria anche la sua velocità. Per questo assegneremo ad ogni punto un vettore, ovvero una freccia che parta dal punto stesso, e che indichi la sua velocità. Si può rappresentare un tale vettore con tre numeri, che operativamente si ottengono definendo un sistema di coordinate locale, cioè che abbia l’origine nella base della freccia; il fatto che questo sistema sia locale significa anche che ce ne serviremo soltanto per descrivere i vettori (e in genere i tensori, come vedremo in seguito). Possiamo descrivere questo sistema di coordinate similmente a come si fa con il piano cartesiano, cioè aggiungendo delle rette che passino per il punto in questione (cioè per la base della freccia). Allora le coordinate del vettore velocità saranno le coordinate, nel sistema locale, della sua punta. Fisicamente il significato delle coordinate del vettore velocità è quello di indicare la velocità dell’oggetto lungo la direzione di un asse cartesiano.


includegraphics[scale=0.45]{coordinatelocali}

Fig.1 : Le coordinate in un vettore (anche dette componenti) rappresentano la sua estensione in direzione degli assi cartesiani locali.

Per il momento richiediamo che gli assi del sistema locale di coordinate siano (e rimangano) paralleli a quelli del sistema globale. Questo vuol dire che se cambiamo il sistema di coordinate principale, dovremo ruotare anche tutti gli altri sistemi locali perché rimangano paralleli. Questa richiesta viene sempre fatta nel contesto della Fisica Newtoniana per dare uniformità alle misure fisiche (vedremo che in Relatività Generale non sarà possibile fare questa richiesta). Infatti in Fisica Newtoniana lo spazio è solo un’arena in cui si giocano i fenomeni fisici, e non avendo una dinamica propria, può essere descritto in questa maniera conveniente.

Facciamo quindi una rotazione del sistema di coordinate principale. I sistemi locali ruoteranno di conseguenza, quindi cambieranno non solo le coordinate di ogni punto, ma anche le coordinate di ogni vettore. Per racchiudere il tutto in una definizione:

Def.: 2 (Vettore)
Una funzione vettoriale (o semplicemente un vettore) sullo spazio <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i8.gif”/>è una funzione che ad ogni punto fa corrispondere una multipla

<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i17.gif”/>

e tale che per una trasformazione di coordinate

<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i10.gif”/>

si trasforma come

<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i18.gif”/>

La somiglianza con la definizione di scalare è evidente. Prima di tutto notiamo come in entrambi i casi la funzione, dopo la trasformazione di coordinate, viene calcolata in termini delle nuove coordinate, e in entrambi i casi si impone che la funzione nelle nuove coordinate (cioè
<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i19.gif”/> e
<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i20.gif”/> nei due casi sopra) sia uguale alla funzione vecchia calcolata nello stesso punto (nelle vecchie coordinate) e successivamente trasformata (cioè
<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i21.gif”/> e
<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i22.gif”/>). Nel caso scalare si ha
<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i23.gif”/>, cioè per calcolare uno scalare in un punto nelle nuove coordinate basta calcolarlo nel punto dato nelle vecchie coordinate. Questa complicata richiesta (che viene spesso detta covarianza) è in realtà fisicamente molto intuitiva. Come nel caso della temperatura, il fluido non cambierà la sua velocità solo perché io ho cambiato sistema di coordinate: invece cambierà il modo in cui ho etichettato le misure nei vari punti dello spazio, e cambiando i miei riferimenti, cambieranno anche le direzioni nelle quali misuro la velocità; non le velocità stesse.

Volendo essere più quantitativi, vediamo cosa succede a un vettore quando ruotiamo il sistema degli assi cartesiani:


includegraphics[scale=0.45]{vettoriruotati}

Fig.2 : Lo stesso vettore può essere visto in due sistemi di coordinate diversi <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i25.gif”/> e <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i26.gif”/>. Nel diagramma sono indicate le unità di lunghezza.

Le vecchie coordinate del vettore <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i27.gif”/> diventano le nuove coordinate
<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i28.gif”/>. Si può dimostrare che la relazione tra le vecchie e le nuove coordinate viene data da:


<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i29.gif”/> (1)


laddove <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i30.gif”/> sono dei numeri reali, che collettivamente possono essere organizzati in una matrice:

La espressione (1) si applica a cambiamenti di coordinate diversi dalle rotazioni. Le trasformazioni di questo tipo sono dette trasformazioni lineari. Simbolicamente, a significare la (1), scriveremo

<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i32.gif”/>

Un’altro modo di scrivere la relazione (1) fa uso del simbolo di sommatoria <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i33.gif”/>:

<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i34.gif”/>

laddove <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i35.gif”/> è il numero di dimensioni dello spazio (cioè il numero di direzioni ortogonali [4]).

A questo punto possiamo dare una definizione più potente e più complicata, cioè quella di tensore che generalizza le due precedenti. Verrà comunque omessa per semplicità la distinzione tra tensori covarianti e controvarianti.

Def.: 3 (Tensore di rango <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i36.gif”/>)
Un tensore di rango k sullo spazio <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i8.gif”/>è una funzione che ad ogni punto fa corrispondere una multipla (le sue componenti)

<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i37.gif”/>

e tale che per una trasformazione di coordinate

<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i10.gif”/>

le sue componenti si trasformano come

<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i38.gif”/>

Se guardiamo attentamente la definizione della legge di trasformazione di un tensore, troviamo che un tensore di rango 0 <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i39.gif”/> ha una sola componente e si trasforma nel seguente modo

<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i40.gif”/>

Questa è la legge di trasformazione di uno scalare. Perciò uno scalare si trasforma come un tensore di rango 0.

Prendiamo il caso di un tensore di rango <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i41.gif”/>, che quindi avrà <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i35.gif”/> componenti, <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i42.gif”/>. La legge di trasformazione diventa:

<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i43.gif”/>

Come abbiamo visto prima, questa è la legge secondo cui trasforma un vettore. Perciò un vettore si trasforma come un tensore di rango <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i41.gif”/>.

Un esempio di tensore di rango <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i44.gif”/> è dato dal già citato tensore degli sforzi. Se nel nostro laboratorio definiamo per esempio il sistema di coordinate cartesiane
<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i45.gif”/>, le componenti
<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i46.gif”/> del tensore degli sforzi in questo sistema rappresentano la forza per unità di superficie che si misura nella direzione ortogonale al piano <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i47.gif”/>: così
<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i48.gif”/> è la pressione nella direzione di <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i49.gif”/> (che è ortogonale al piano definito da <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i50.gif”/>), etc. Possiamo scrivere le componenti di <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i51.gif”/> nella forma di una matrice (“tabella” di numeri):

<img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i52.gif”/>

Finora abbiamo dato la definizione di tensore come generalizzazione dei concetti di scalare e di vettore, e parlato della utilità in fisica di questa nozione: serve a scrivere le equazioni della fisica indipendentemente dalle coordinate, perché sappiamo come cambiano le nostre quantità quando cambiamo sistema di coordinate. Abbiamo tenuto in mente uno schema in cui la differenza tra un sistema di coordinate e un altro è una trasformazione che è uguale in tutti i punti dello spazio. In particolare abbiamo richiesto finora che i sistemi di coordinate locali venissero trasformati tutti insieme, restando paralleli tra di loro.
Possiamo fare una importante generalizzazione, a questo punto: ci interessiamo solo dei sistemi di coordinate locali, e permettiamo trasformazioni che li ruotino in maniera dipendente dal punto. Questa generalizzazione è dettata dalla Relatività Generale stessa: la misurazione di qualunque quantità fisica non può essere effettuata a distanza, per cui utilizziamo solo sistemi locali definiti punto per punto; la Gravità interagisce con la materia tramite la Curvatura, che a sua volta impedisce la definizione di un sistema di coordinate che possa essere trasportato da un punto all’altro. Questo fenomeno capita per esempio su una sfera, come in figura 3 . Quindi non possiamo restringerci al caso in cui tutti i sistemi locali siano paralleli tra loro.


includegraphics[scale=0.45]{curvatura}

Fig.3 : Un sistema locale di coordinate viene trasportato su un cammino chiuso su una sfera, e confrontato con la sua orientazione iniziale. La curvatura causa la discrepanza.

Per finire riportiamo, come ulteriori esempi, le componenti dei tensori che si usano in Relatività Generale citati nella prima parte possono essere scritte nel seguente modo:

  • Tensore di Curvatura <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i54.gif”/>, è un tensore di rango <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i55.gif”/>
  • Tensore metrico <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i56.gif”/>, è un tensore di rango <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i44.gif”/>
  • Tensore energia-impulso della materia <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i57.gif”/>, è un tensore di rango <img loading=” src=”http://www.vialattea.net/spaw/image/fisica/imgr6626i44.gif”/>



Bibliografia


1
Tensori e Gravità: http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?numero=8182

2
Principio di Equivalenza e sistemi in caduta libera: http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=9381

3
Equazioni di Einstein: http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_campo_di_Einstein

4
G. Galilei, “Dialogo sopra i due massimi sistemi del Mondo: Tolemaico, e Copernicano”, (Ed. orig.: G.B.Landini – Firenze 1632), rist.: Grandi Classici Oscar Mondadori, (Milano 1996), 498 pp.